Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 6 (có đáp án)

Gọi $O,A,B$ lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 2 tiếng.

Hướng $N25^{\circ }\mathrm{E}$ là hướng tạo với hướng bắc một góc $25^{\circ }$ và tạo với hướng đông một góc $90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$. Ta mô phỏng bài toán đã cho như sau:

Quãng đường máy bay bay theo hướng đông sau 2 tiếng là

$OA=540\cdot 2=1080$ (km).

Quãng đường máy bay bay theo hướng $N25^{\circ }\mathrm{E}$ sau 2 tiếng là

$OB=670\cdot 2=1340$ (km).

Ta có: $\widehat{AOB}=65^{\circ }$, $OA=1080,OB=1340$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OAB$, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \widehat{AOB}$

$=1080^2+1340^2-2\cdot 1080\cdot 1340\cdot \cos 65^{\circ }\approx 1738774$.

Suy ra $AB\approx \sqrt{1738774}\approx 1319$ (km).

Vậy sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau khoảng 1 319 km.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;3\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-3\right)$.

Vì $\frac{-2}{-2}\ne \frac{3}{-3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Do đó, ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Vậy $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi $D\left(x;y\right)$. Khi đó, $\overrightarrow{DC}=\left(2-x;-2-y\right)$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\iff \{\begin{array}{l}-2=2-x\\ 3=-2-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=-5\end{array}$.

Vậy $D\left(4;-5\right)$.

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn điều kiện: $$4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$.

Khi đó, ta có: $$4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$$$\iff 4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$$, do đó điểm $I$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $IN=2IA$.

ABC cạnh $a$. X (ảnh 1)">

Lại có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra: $$IA=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$; $IN=\frac{2}{3}AN=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ ;

$$IB=IC=\sqrt{I{N}^2+B{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$$.

Ta lại có: $$4M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 4{\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 4{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 6M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\left(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$\iff 6M{I}^2+4\cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{21}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{21}}{6}\right)}^2=\frac{5a^2}{2}$

$$\iff MI=\frac{a}{\sqrt{6}}$$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $$R=\frac{a}{\sqrt{6}}$$.

Sắp xếp khối lượng các quả cam Vinh ở hai lô hàng loại 1 và loại 2 theo thứ tự không giảm ta được:

Loại 1	230	245	250	250	250	260	260	260	265	280
Lọai 2	180	185	190	190	195	200	210	210	215	220

 a) * Đối với lô hàng loại 1:

Khối lượng cao nhất và khối lượng thấp nhất tương ứng là 280 và 230. Do đó, khoảng biến thiên của lô hàng loại 1 là $R_1=280-230=50$.

Mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai của lô hàng loại 1 là trung bình cộng của số thứ 5 và 6. Do đó, $Q_{2\left(1\right)}=\frac{250+260}{2}=255$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 230 245   250    250          250. Do đó, $Q_{1\left(1\right)}=250$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 260   260    260    265          280. Do đó, $Q_{3\left(1\right)}=260$.

Khi đó, khoảng tứ phân vị của lô hàng loại 1 là $${\Delta }_{Q\left(1\right)}=Q_{3\left(1\right)}-Q_{1\left(1\right)}=260-250=10$$.

Khối lượng trung bình của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 1 là

$\overline{X_1}=\frac{230+245+250\cdot 3+260\cdot 3+265+280}{10}=255$.

Phương sai của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 1 là