Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 7 (có đáp án)

Gọi $A,B,C$ lần lượt là vị trí trạm quan sát tại Hà Nội, tại Điện Biên và vị trí vệ tinh khi nằm giữa hai trạm trên. Khi đó ta có $\hat{A}=40^{\circ },\hat{B}=85^{\circ },AB=487$ km.

Khoảng cách giữa vệ tinh và trạm quan sát Điện Biên lúc này chính là độ dài $BC$.

Tam giác $ABC$ có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$, suy ra $\hat{C}=180^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=180^{\circ }-\left(40^{\circ }+85^{\circ }\right)=55^{\circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}=\frac{487\cdot \sin 40^{\circ }}{\sin 55^{\circ }}\approx 382,15$ (km).

Vậy vệ tinh cách trạm quan sát Điện Biên khoảng 382,15 km.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{array}\left(\ast \right)$ 

Giả sử $H\left(a;b\right)$, khi đó: $\overrightarrow{AH}=\left(a-1;b-2\right),\overrightarrow{BH}=\left(a+1;b+1\right)$

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(3;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;-3\right)$

$\left(\ast \right)\iff \{\begin{array}{l}\left(a-1\right).3+\left(b-2\right).0=0\\ \left(a+1\right).1+\left(b+1\right).\left(-3\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1-3b-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ -3b-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-\frac{1}{3}\end{array}$

Vậy, $H\left(1;-\frac{1}{3}\right)$.

Theo giả thiết: $$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}\left(1\right)$$

Ta có: $$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$$.

Khi đó, $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\left(2\right)$$

Ta có: $$\frac{BF}{FC}=\frac{4}{1}\Rightarrow \overrightarrow{BF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$$

Khi đó, $$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\left(3\right)$$

Mà $A,K,E$ thẳng hàng nên $$\overrightarrow{AK}=m\overrightarrow{AE}\left(4\right)$$

$D,K,F$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{DK}=n\overrightarrow{DF}$ $\iff \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=n\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}\right)$

$$\iff \overrightarrow{AK}=n\overrightarrow{AF}+\left(1-n\right)\overrightarrow{AD}\left(5\right)$$

Từ $$\left(2\right)$$ và $$\left(4\right)$$ suy ra: $$\overrightarrow{AK}=\frac{3}{4}m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}m\overrightarrow{AC}\left(6\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$, $$\left(3\right)$$ và $$\left(5\right)$$ suy ra: $$\overrightarrow{AK}=n\left[\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\right]+\left(1-n\right)\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(\frac{3}{5}-\frac{2n}{5}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{4n}{5}\overrightarrow{AC}\left(7\right)$$

Do hai vectơ $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AC}$$ không cùng phương nên từ $$\left(6\right)$$,$$\left(7\right)$$ ta có: $$\{\begin{array}{l}\frac{3m}{4}=\frac{3}{5}-\frac{2n}{5}\\ \frac{m}{4}=\frac{4n}{5}\end{array}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{5}-\frac{2n}{15}=\frac{4n}{5}\iff n=\frac{3}{14}$$

Suy ra $$\overrightarrow{DK}=\frac{3}{14}\overrightarrow{DF}\Rightarrow \frac{DK}{DF}=\frac{3}{14}\Rightarrow \frac{KD}{KF}=k=\frac{3}{11}$$.

Vậy $$k=\frac{3}{11}$$.

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

0,5     1,8     1,8     1,9     1,9     1,9     2,0     2,1     2,2     2,4.

+ Khối lượng trung bình của gà ri trống trưởng thành là

$\overline{X}=\frac{0,5+1,8\cdot 2+1,9\cdot 3+2,0+2,1+2,2+2,4}{10}=1,85$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R=2,4-0,5=1,9$.

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, $Q_2=\frac{1,9+1,9}{2}=1,9$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0,5   1,8   1,8    1,9          1,9. Do đó, $Q_1=1,8$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 1,9    2,0     2,1     2,2          2,4. Do đó, $Q_3=2,1$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=2,1-1,8=0,3$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{\left(0,5-1,85\right)}^2+2\cdot {\left(1,8-1,85\right)}^2+...+{\left(2,4-1,85\right)}^2}{10}=0,2345$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0,2345}\approx 0,4843$.

b) Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=1,8-1,5\cdot 0,3=1,35$, $Q_3+1,5{\Delta }_Q=2,1+1,5\cdot 0,3=2,55$.

Mẫu số liệu đã cho có số liệu 0,5 < 1,35.

Vậy mẫu số liệu có giá trị bất thường là 0,5.