Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 9 (có đáp án)

Ta xem vị trí ga $A$, ga $B$ và tháp $C$ như các điểm, nối với nhau tạo thành $\Delta ABC$.

Theo bài ra ta có $AB=8$ km, $$\widehat{CAB}=60^{\circ },\widehat{ABC}=45^{\circ }$$.

Ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{CAB}+\widehat{ABC}=180^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(60^{\circ }+45^{\circ }\right)=75^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$.

Suy ra $AC=\frac{AB\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{8\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx 5,86$ (km).

Vậy khoảng cách từ ga $A$ đến tháp $C$ xấp xỉ bằng 5,86 km.

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên

$$x_I=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\Rightarrow x_C=3x_I-x_A-x_B=3\cdot 1-3-\left(-1\right)=1$$

$$y_I=\frac{y_A+y_B+y_C}{2}\Rightarrow y_C=3y_I-y_A-y_B=3\cdot \left(-1\right)-\left(-1\right)-2=-4$$

Suy ra $C\left(1;-4\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2;-3\right)$, do $\frac{-4}{-2}\ne \frac{3}{-3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, do đó ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Khi đó, tứ giác$ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}-4=1-x_D\\ 3=-4-y_D\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=5\\ y_D=-7\end{array}\Rightarrow D(5;-7)$.

Điểm $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ suy ra $O$ là trung điểm $AC$.

Do đó, $$x_O=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{3+1}{2}=2,y_O=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{\left(-1\right)+\left(-4\right)}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow O\left(2;-\frac{5}{2}\right)$$.

Vì $E$ là một điểm thuộc cạnh $CD$ nên tồn tại $$k\in \left(0;1\right)$$ sao cho $$k\overrightarrow{EC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$$.

Khi đó, $$k\overrightarrow{BC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BE}$$ và $$k\overrightarrow{AC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$$.

Lại có $AD$ và $BC$ cùng vuông góc với $AB$ nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ và $AD//BC$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=AD\cdot BC=ab$ (hai vectơ cùng hướng).

Từ đó, suy ra

$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AE}=k^2\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AC}+k\left(1-k\right)\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}+k\left(1-k\right)\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}+{\left(1-k\right)}^2\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}$

$$=k^2\overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+k\left(1-k\right)ab+k\left(1-k\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+{\left(1-k\right)}^2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\overrightarrow{AD}$$

$$=k^2{b}^2+k\left(1-k\right)ab+k\left(1-k\right)\left(-8^2+ab\right)+{\left(1-k\right)}^2{a}^2$$

$$={\left(kb+\left(1-k\right)a\right)}^2-64k\left(1-k\right)$$

Do $$\widehat{AEB}=90^{\circ }$$ $$\iff \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AE}=0\iff kb+\left(1-k\right)a=8\sqrt{k\left(1-k\right)}\iff \sqrt{\frac{k}{1-k}b}+\sqrt{\frac{1-k}{k}a}=8$$.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $$8=\sqrt{\frac{k}{1-k}b}+\sqrt{\frac{1-k}{k}a}\ge 2\sqrt{ab}\iff ab\le 16$$.

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $$a=b=4$$ và $$k=0,5$$.

Vậy $$\max T=16$$.

a)

* Hà Nội

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

24      25      26      27      27      28      29      29      30.

+ Nhiệt độ trung bình là

$\overline{X}=\frac{24+25+26+27\cdot 2+28+29\cdot 2+30}{9}=\frac{245}{9}$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R=30-24=6$.

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5. Do đó, $Q_2=27$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 24   25    26      27.

Do đó, $Q_1=\frac{25+26}{2}=25,5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28     29      29      30.

Do đó, $Q_3=\frac{29+29}{2}=29$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=29-25,5=3,5$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{\left(24-\frac{245}{9}\right)}^2+{\left(25-\frac{245}{9}\right)}^2+...+{\left(30-\frac{245}{9}\right)}^2}{9}\approx 3,51$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{3,51}\approx 1,87$.

* Hồ Chí Minh

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

29      31      31      32      32      33      33      33      34.

+ Nhiệt độ trung bình là

$\overline{X^{\prime }}=\frac{29+31\cdot 2+32\cdot 2+33\cdot 3+34}{9}=32$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R^{\prime }=34-29=5$.

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5.

Do đó, $Q_2^{\prime }=32$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 29 31      31      32.

Do đó, $Q_1^{\prime }=\frac{31+31}{2}=31$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 33     33      33      34.

Do đó, $Q_3^{\prime }=\frac{33+33}{2}=33$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=33-31=2$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^{\prime 2}=\frac{{\left(29-32\right)}^2+2\cdot {\left(31-32\right)}^2+...+{\left(34-32\right)}^2}{9}=2$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s^{\prime }=\sqrt{{s^{\prime }}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

b) Từ câu a, ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của dãy số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại thành phố Hồ Chí Minh đều nhỏ hơn các số đặc trưng này tại Hà Nội nên ta khẳng định rằng nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần ở thành phố Hồ Chí Minh ít biến động hơn.