Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 01 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\le 28\right)$.

Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$  học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$  học sinh nữ.

+ Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có $C_{30-n}^2$ cách.

+ Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$ .

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}$

$\iff \frac{\left(30-n\right)\left(29-n\right)\left(28-n\right)!.n}{2!.\left(28-n\right)!}=1680$

$\iff \left(30-n\right)\left(29-n\right).n=3360\iff n^3-59n^2+870n-3360=0$ $\iff [\begin{array}{l}n\approx 38,82\\ n=14\\ n\approx 6,18\end{array}$

Vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\Rightarrow n=14$

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline{x_1}=\frac{2,1+2,5+2,4+2,2+2,3}{5}=2,3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline{x_2}=\frac{2,0+2,8+2,6+2,2+1,9}{5}=2,3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,1-2,3\right)}^2+{\left(2,5-2,3\right)}^2+{\left(2,4-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(2,3-2,3\right)}^2}{5}=0,02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_1}=\sqrt{S_{x_1}^2}=\sqrt{0,02}\approx 0,14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,0-2,3\right)}^2+{\left(2,8-2,3\right)}^2+{\left(2,6-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(1,9-2,3\right)}^2}{5}=0,12$

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_2}=\sqrt{S_{x_2}^2}=\sqrt{0,12}\approx 0,35$.

Vì $0,35>0,14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

b) Ta có khai triển của ${\left(1-x^2\right)}^5$ là:

${\left(1-x^2\right)}^5=C_5^0{1}^5-C_5^1.1^4.x^2+C_5^2.1^3.{\left(x^2\right)}^2-C_5^3.1^2.{\left(x^2\right)}^3+C_5^4.1.{\left(x^2\right)}^4-C_5^5.{\left(x^2\right)}^5$

$=1-5x^2+10x^4-10x^6+5x^8-x^{10}$.

Vậy hệ số của $x^6$ trong khai triển là  $-10$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{IA}\left(8;-3\right)\Rightarrow IA=\sqrt{8^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{73}$.

Suy ra bán kính đường tròn $\left(C\right)$ là $R=\sqrt{73}$.

Khi đó phương trình đường tròn $\left(C\right)$ cần tìm là: ${\left(x-8\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=73$.

b)