Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 04 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $C_{14}^x+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}\left(x\le 12\right)$

$\iff \frac{14!}{x!\left(14-x\right)!}+\frac{14!}{\left(x+2\right)!.\left(14-x-2\right)!}=2\frac{14!}{\left(x+1\right)!\left(14-x-1\right)!}$

$\iff \frac{14!}{x!\left(14-x\right)!}+\frac{14!}{\left(x+2\right)!.\left(12-x\right)!}=2\frac{14!}{\left(x+1\right)!\left(13-x\right)!}$

$\iff \frac{14!}{x!\left(12-x\right)!}\left(\frac{1}{\left(14-x\right)\left(13-x\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}\right)=2.\frac{14!}{x!\left(12-x\right)!}.\frac{1}{\left(x+1\right).\left(13-x\right)}$

$\iff \frac{1}{\left(14-x\right)\left(13-x\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\frac{2}{\left(x+1\right).\left(13-x\right)}$

$$\iff \left(x+2\right)\left(x+1\right)+\left(14-x\right)\left(13-x\right)=2\left(14-x\right)\left(x+2\right)$$

$$\iff x^2+3x+2+x^2-27x+182=-2x^2+24x+56$$

$$\iff 4x^2-48x+128=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=8\end{array}$$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tích $P=4.8=32$.

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

20      20      22      25      25      30      33      38      40      90

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2=\frac{25+30}{2}=27,5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 20      20     22      25      25.

Do đó, $Q_1=22$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 30         33      38      40      90.

Do đó, $Q_3=38$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=38-22=16$.

Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=22-1,5\cdot 16=-2$; $Q_3+1,5{\Delta }_Q=38+1,5\cdot 16=62$.

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 90 lớn hơn 62.

Vậy mẫu số liệu đã cho có giá trị bất thường là 90.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=17^3=4913$.

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn $\left[1;17\right]$ có $5$ số chia hết cho $3$ là $3;6;9;12;15$, có $6$  số chia cho $3$  dư $1$ là $1;4;7;10;13;16$, có $6$ số chia cho $3$ dư $2$ là $3;5;8;11;14;17$.

Gọi $A$ là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$” có các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Cả ba số viết ra đều chia hết cho $3$. Trường hợp này có: $5^3$ cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $1$. Trường hợp này có: $6^3$ cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $2$. Trường hợp này có: $6^3$ cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có $1$ số chia hết cho $3$ , có $1$ số chia cho $3$  dư $1$, có $1$ số chia cho $3$ dư $2$. Trong trường hợp này có: $\mathrm{5.6.6.3}!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:

Số phần tử của biến cố $A$ là: $5^3+6^3+6^3+\mathrm{5.6.6.3}!=1637$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1637}{4913}$.