Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 03 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $C_{14}^x+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}\left(x\le 12\right)$

$\iff \frac{14!}{x!\left(14-x\right)!}+\frac{14!}{\left(x+2\right)!.\left(14-x-2\right)!}=2\frac{14!}{\left(x+1\right)!\left(14-x-1\right)!}$

$\iff \frac{14!}{x!\left(14-x\right)!}+\frac{14!}{\left(x+2\right)!.\left(12-x\right)!}=2\frac{14!}{\left(x+1\right)!\left(13-x\right)!}$

$\iff \frac{14!}{x!\left(12-x\right)!}\left(\frac{1}{\left(14-x\right)\left(13-x\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}\right)=2.\frac{14!}{x!\left(12-x\right)!}.\frac{1}{\left(x+1\right).\left(13-x\right)}$

$\iff \frac{1}{\left(14-x\right)\left(13-x\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\frac{2}{\left(x+1\right).\left(13-x\right)}$

$$\iff \left(x+2\right)\left(x+1\right)+\left(14-x\right)\left(13-x\right)=2\left(14-x\right)\left(x+2\right)$$

$$\iff x^2+3x+2+x^2-27x+182=-2x^2+24x+56$$

$$\iff 4x^2-48x+128=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=8\end{array}$$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tích $P=4.8=32$.

b) $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-9x^2-8x+3}$

$\Rightarrow x^2-7x=-9x^2-8x+3$

$\Rightarrow 10x^2+x-3=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=-\frac{3}{5}\end{array}$

Thay lần lượt $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{3}{5}$ vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có $x=-\frac{3}{5}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{3}{5}\right\}$.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=17^3=4913$.

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn $\left[1;17\right]$ có $5$ số chia hết cho $3$ là $3;6;9;12;15$, có $6$  số chia cho $3$  dư $1$ là $1;4;7;10;13;16$, có $6$ số chia cho $3$ dư $2$ là $3;5;8;11;14;17$.

Gọi $A$ là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$” có các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Cả ba số viết ra đều chia hết cho $3$. Trường hợp này có: $5^3$ cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $1$. Trường hợp này có: $6^3$ cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $2$. Trường hợp này có: $6^3$ cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có $1$ số chia hết cho $3$ , có $1$ số chia cho $3$  dư $1$, có $1$ số chia cho $3$ dư $2$. Trong trường hợp này có: $\mathrm{5.6.6.3}!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:

Số phần tử của biến cố $A$ là: $5^3+6^3+6^3+\mathrm{5.6.6.3}!=1637$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1637}{4913}$.