Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 04 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Vì chọn $$10$$ tấm thẻ trong $$30$$ tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: $$n\left(\Omega \right)=C_{30}^{10}=30045015$$.

Gọi $$A$$ là biến cố lấy được $$5$$ tấm thẻ mang số lẻ và $$5$$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $$10$$.

Công đoạn 1, vì có $$15$$ tấm thẻ đánh số lẻ và chỉ lấy ra $$5$$ tấm thẻ nên có: $$C_{15}^5=3003$$ (cách).

Công đoạn 2, lấy $$5$$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $$10$$, trong đó có $$3$$ tấm thẻ đánh số chia hết cho $$10$$ và lấy ra một tấm thẻ, có $$12$$ tấm thẻ còn lại đánh số chẵn và lấy ra $$4$$ tấm thẻ nên ta có: $$C_3^1.C{}_{12}^4=1485$$ (cách).

Số phần tử của biến cố $$A$$ là: $$3003.1485=4459455$$ (cách).

Vậy xác suất của biến cố $$A$$ là: $$P\left(A\right)=\frac{4459455}{30045015}=\frac{99}{667}$$.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ song song với đường thẳng $$y=2x-1$$ là $$y-2x+c=0$$.

Đường tròn $$\left(C\right)$$ có tâm $$I\left(1;0\right)$$ và bán kính $$R=3$$.

Theo giả thiết, ta có: $$d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|n-2\right|}{\sqrt{5}}=3\iff [\begin{array}{l}c=2-3\sqrt{5}\\ c=2+3\sqrt{5}\end{array}$$

Vậy phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ là $$y-2x+2-3\sqrt{5}=0$$ hoặc $$y-2x+2+3\sqrt{5}=0$$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $M\in {\Delta }^{\prime }$.

Đặt: $M\left(3t;-2t\right)$.

$\Rightarrow B\left(6t-4;-4t+1\right)$

Mặt khác $B\in \Delta$ nên ta có: $2\left(6t-1\right)-3\left(-4t+4\right)=0$

$\iff 24t-11=0$

$\iff t=\frac{11}{24}$

$\Rightarrow B\left(-\frac{5}{4};-\frac{5}{6}\right)$.

Đường thẳng $\Delta :2x-3y=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-3\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$.

Vì $\Delta \; \perp AC$ nên đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: $3\left(x-4\right)+2\left(y+1\right)=0\iff 3x+2y-10=0$.

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và ${\Delta }^{\prime }$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=0\\ 3x+2y-10=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-4\end{array}\Rightarrow C\left(6;-4\right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi số tạo thành có dạng $$x=\overline{abc}$$ với $$a,b,c$$ đôi một khác nhau và lấy từ $$A$$.

Chọn một vị trí $$a,b$$ hoặc $$c$$ cho số $$3$$ có $$3$$ cách chọn.

Chọn hai chữ số khác $$3$$ từ $$A$$ và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của $$x$$ có $$A_4^2$$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: $$3.A_4^2=36$$ cách chọn.

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có $$36$$ số cần tìm.