Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 10 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\le 28\right)$.

Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$  học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$  học sinh nữ.

+ Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có $C_{30-n}^2$ cách.

+ Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$ .

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}$

$\iff \frac{\left(30-n\right)\left(29-n\right)\left(28-n\right)!.n}{2!.\left(28-n\right)!}=1680$

$\iff \left(30-n\right)\left(29-n\right).n=3360\iff n^3-59n^2+870n-3360=0$ $\iff [\begin{array}{l}n\approx 38,82\\ n=14\\ n\approx 6,18\end{array}$

Vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\Rightarrow n=14$

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(6;4\right)=2\left(3;2\right)$

Khi đó $\left(3;2\right)$ là một vectơ chỉ phương đường thẳng $\left(\Delta \right)$ hay ta có $\left(2;-3\right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left(\Delta \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right)$ là:

$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=0\iff 2x-3y+7=0$.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left(d\right):3x-y+2=0$ là $\left(3;-1\right)$.

Vì đường thẳng $\left(\Delta \right)$ song song với đường thẳng $\left(d\right)$ nên $\left(3;-1\right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left(\Delta \right)$.

Vì vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right)$là:

$3\left(x+2\right)-\left(y-1\right)=0\iff 3x-y+7=0$.

c) Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại điểm $A$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left(d\right)$ là $\left(1;-4\right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left(4;1\right)$.

Vì $d^{\prime }\perp d$ nên $\left(d^{\prime }\right)$ nhận $\left(4;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình $\left(d^{\prime }\right)$ là:

$4\left(x+2\right)-\left(y-1\right)=0\iff 4x-y+9=0$.

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là giao điểm của đường thẳng $\left(d\right)$ và $\left(d^{\prime }\right)$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}4x-y+9=0\\ x-4y+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{31}{15}\\ y=-\frac{11}{15}\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{31}{15};-\frac{11}{15}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số vận động viên nam là $n$ (vận động viên) $\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2=n(n-1)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $C_2^1.C_n^2.2=4n$.

Khi đó ta có $n\left(n-1\right)-4n=84\Rightarrow n=12$ (loại $n=-7$).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2=182$.

b) Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$3x-5=2x^2-4x$

$\Rightarrow 2x^2-7x+5=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{5}{2}\end{array}$

Thay lần lượt $x=1$ và $x=\frac{5}{2}$ vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x=\frac{5}{2}$ là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{5}{2}\right\}$.