Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có $0<x<30$.

Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: $40+2x$ (trái).

Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: $30-x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: $\left(40+2x\right)\left(30-x\right)=-2x^2+20x+1200$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $f\left(x\right)=-2x^2+20x+1200$ trên khoảng $\left(0;30\right)$.

Do hàm số có hệ số $a=-2<0$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{b}{2a}=5$.

Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.

a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là $50$ trái.

b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá $25.000$ đồng.

c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left(x\right)=-2x^2+20x+1200$

d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa $45.000$ đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

a) Đúng: Tiêu cự là $F_1{F}_2=2\sqrt{3}$

b) Sai: Điểm $N\left(1;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ đối xứng với $M$ qua trục tung. Do đó $N\left(1;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: $M{F}_1=\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$.

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a>b>0\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}\Rightarrow a^2-b^2=3$ $\left(1\right)$

$M\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\in \left(E\right)\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1\iff 4b^2+3a^2=4a^2{b}^2$ $\left(2\right)$

Giải hệ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta được:$\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=3\\ 4b^2+3a^2=4a^2{b}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}^2=3+b^2\\ 4b^2+3\left(3+b^2\right)=4\left(3+b^2\right)b^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}^2=3+b^2\\ 4b^4+5b^2-9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ b^2=1\end{array}$

Vậy phương trình elip là: $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$.

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $a;b\in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.4=16$ số có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $a;b\in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.3=12$ số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $a;b\in A$

Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.3=6$ số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $a;b\in A$

Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.4=8$ số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử $n\left(\Omega \right)=C_{20}^3=1140$.

b) Sai: Gọi $A$là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.

$\Rightarrow n\left(A\right)=C_{15}^2.C_5^1=525$

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{525}{1140}=\frac{35}{76}$.

c) Đúng: Gọi $B$là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn $\overline{B}$ là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng$\Rightarrow n\left(\overline{B}\right)=C_{15}^3=455$

Xác suất của biến cố $\overline{B}$ là: $P\left(\overline{B}\right)=\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{455}{1140}=\frac{91}{228}$.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{91}{228}=\frac{137}{228}$.

d) Sai: Gọi $C$là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.

Trường hợp 1: Chọn $1$ quả trắng, $2$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^1.C_5^2=150$ cách.

Trường hợp 2: Chọn $2$ quả trắng, $1$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^2.C_5^1=525$ cách.

$\Rightarrow n\left(C\right)=150+525=675$cách.

Xác suất của biến cố $C$ là: $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{675}{1140}=\frac{45}{76}$.

Hàm số $$y=\sqrt{x^2-2mx-2m+3}$$ có tập xác định là $$\mathbb{R}$$ khi $$x^2-2mx-2m+3\ge 0$$ với mọi $$x\in \mathbb{R}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }\le 0\\ a>0\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2+2m-3\le 0\\ 1>0\end{array}$$$$\iff -3\le m\le 1$$.

Do $$m$$ nguyên âm nên $$m\in \left\{-3;-2;-1\right\}$$.

Vậy có $$3$$ giá trị nguyên âm của $$m$$ thỏa yêu cầu bài toán.

Bất phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm $\iff x^2-\left(m+2\right)x+8m+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $\Delta <0\iff {\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)>0\iff m^2-28m>0\iff [\begin{array}{l}m<0\\ m>28\end{array}$.

Kết hợp điều kiện  nên có $2$ giá trị thỏa mãn.

Ta có ${\Delta }_m:\left(m-2\right)x+\left(m+1\right)y-5m+1=0\iff m\left(x+y-5\right)+\left(-2x+y+1\right)=0$

Khi đó, ${\Delta }_m$ luôn đi qua điểm cố định $M\left(2;3\right)$.

Gọi $d=d\left(A,{\Delta }_m\right)=AH,H\in {\Delta }_m$ $\Rightarrow d\le AM$.

$\Rightarrow d$ lớn nhất khi $H\equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow{AM}\left(5;-6\right)$ và ${\Delta }_m$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(m+1;2-m\right)$.

Đường thẳng $AM\perp {\Delta }_m$ $\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0$

$\iff 5\left(m+1\right)-6\left(2-m\right)=0\iff 11m-7=0\iff m=\frac{7}{11}\Rightarrow S=2a-b=2.7-11=3$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau là $\overline{abcd};a\ne 0$.

Trường hợp 1: Số được lập có $4$ chữ số chẵn, có $4!=24$ (số).

Trường hợp 2: Số được lập có $1$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: $A_4^3$ cách

Suy ra, có $\mathrm{5.4.}{A}_4^3=480$ (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và $2$ chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: $A_5^2$ cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: $A_4^2$ cách

Suy ra, có $3.A_5^2.A_4^2=720$ (số).

Do đó, số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: $24+480+720=1224$.

Không gian mẫu$\Omega \Rightarrow$ $n\left(\Omega \right)=C_{11}^3$

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1\cdot C_5^2=60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3=20$

Do đó $n\left(A\right)=60+20=80\Rightarrow$$P\left(A\right)=\frac{16}{33}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=16\\ b=33\end{array}\Rightarrow T=a+b=49$

Gọi $$\Omega$$ là không gian mẫu $$\Rightarrow n\left(\Omega \right)=10!$$

Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có $$4!$$ (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có $$A_6^2.A_4^2.A_2^2$$ (cách)

$$\Rightarrow n\left(A\right)=4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2=17280$$.

Vậy xác suất cần tìm là $$P\left(A\right)=\frac{17280}{10!}=\frac{1}{210}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=210\end{array}\Rightarrow T=2a+b=212$$.