Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 07 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Đặt tọa độ điểm $M\left(x;y\right)$

Để $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn:

$\{\begin{array}{l}0=\frac{1+x}{2}\\ 2=\frac{1+y}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3\end{array}\Rightarrow M\left(-1;3\right)$.

Vậy $M\left(-1;3\right)$.

b) Gọi phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right)$ cần tìm là: $\left(\Delta \right):y=ax+b$ hay $ax-y+b=0$.

Ta có:

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\left(\Delta \right)$ là: $d\left(A;\Delta \right)=\frac{|a.1-1+b|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{8}$.

Khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $\left(\Delta \right)$ là: $d\left(B;\Delta \right)=\frac{|a.0-2+b|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{2}$.

$\Rightarrow \frac{|a.1-1+b|}{|-2+b|}=2\iff \left|a.1-1+b\right|=2\left|-2+b\right|\iff [\begin{array}{l}a.1-1+b=2\left(-2+b\right)\\ a.1-1+b=-2\left(-2+b\right)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}a-1+b=-4+2b\\ a-1+b=4-2b\end{array}\iff [\begin{array}{l}a=b-3\\ a=3-3b\end{array}$

Với $a=b-3$, ta có: $\frac{|b-3-1+b|}{\sqrt{{\left(b-3\right)}^2+1}}=\sqrt{8}\iff \left|2b-4\right|=\sqrt{8}.\sqrt{{\left(b-3\right)}^2+1}$

$\iff 4b^2-16b+16=8\left(b^2-6b+10\right)$

$\iff b^2-4b+4=2b^2-12b+20$

$\iff b^2-8b+16=0$

$\iff b=4$

$\Rightarrow a=1$

Do đó phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right):x-y+4=0$.

Với $a=3-3b$, ta có: $\frac{|3-3b-1+b|}{\sqrt{{\left(3-3b\right)}^2+1}}=\sqrt{8}\iff \left|-2b-2\right|=\sqrt{8}.\sqrt{{\left(3-3b\right)}^2+1}$

$\iff 4b^2-8b+4=8\left(9b^2-18b+10\right)$

$\iff b^2-2b+1=18b^2-36b+20$

$\iff 17b^2-34b+19=0$ (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right):x-y+4=0$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{12}^3=220$

Gọi $A$ là biến cố để ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ.

Ta có hai phương án để chọn được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ là:

Phương án 1: Ba tấm thẻ được chọn có $2$ tấm lẻ và $1$tấm chẵn có $C_6^2.C_6^1$ cách;

Phương án 2: Ba tấm thẻ được chọn có $3$ tấm lẻ có $C_6^3$ cách.

Khi đó $n\left(A\right)=C_6^3+C_6^2.C_6^1=110$.

Vậy xác suất chọn được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ là $P\left(A\right)=\frac{110}{220}=\frac{1}{2}$.

b) Ta có: ${\left(1-k.x\right)}^5=1-5kx+10k^2{x}^2-10k^3{x}^3+5k^4{x}^4-k^5{x}^5$

Khi hệ số của $x$ và $x^3$ trong khai triển lần lượt là: $-5k$ và $-10k^3$.

Do đó ta có: $-5k-10k^3=15\iff 2k^3+k+3=0\iff \left(k+1\right)\left(2k^2-2k+3\right)=0$

$\iff k+1=0\iff k=-1$.

Vậy hệ số của $x$ và $x^3$ trong khai triển lần lượt là: $5$ và $10$.

Hướng dẫn giải

- Xếp để $A$ và $B$ luôn ngồi cạnh nhau, ta có:

Coi $AB$ như $1$ phần tử, trường hợp này có $2$ cách thỏa mãn là $AB$ và $BA$.

Ứng với $1$ phần tử $AB$ và $8$ đại biểu còn lại có $9!$ cách xếp.

Do đó có $9!.2!$ cách xếp.

- Xếp để $A$ luôn ngồi cạnh cả $B$ và $C$ là:

Coi $ABC$ như $1$ phần tử, do đó có thể có $2$ cách thỏa mãn là $CAB$ và $BAC$.

Ứng với $1$ phần tử $ABC$ và $7$ đại biểu còn lại có $8!$ cách xếp.

Do đó có $8!.2!$ cách xếp.

Vậy có $9!.2!-8!.2!=645120$ cách xếp.