Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 09 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) $$C_{14}^k+C_{14}^{k+2}=2C_{14}^{k+1}\iff \frac{14!}{k!\left(14-k\right)!}+\frac{14!}{\left(k+2\right)!\left(12-k\right)!}=2\frac{14!}{\left(k+1\right)!\left(13-k\right)!}$$

$\iff \frac{1}{\left(14-k\right)\left(13-k\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2}{\left(k+1\right)\left(13-k\right)}$

$\iff \left(k+1\right)\left(k+2\right)+\left(14-k\right)\left(13-k\right)=2\left(k+2\right)\left(14-k\right)$

$\iff k^2+3k+2+182-27k+k^2=-2k^2+24k+56$

$\iff 4k^2-48k+128=0$

$\iff k^2-12k+32=0\iff [\begin{array}{l}k=8\\ k=4\end{array}$.

Tổng các phần tử của $S$ là: $8+4=12$.

b) Xét $C_n^2+\frac{A_n^3}{n}=12\left(1\right)$(Điều kiện : $n\in \mathbb{N},n\ge 3$).

$C_n^2+\frac{A_n^3}{n}=12\iff \frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}+\frac{n!}{n.\left(n-3\right)!}=12$

$\iff \frac{n\left(n-1\right)}{2}+\left(n-1\right)\left(n-2\right)=12$

$\iff 3n^2-7n-20=0\iff [\begin{array}{l}n=4\\ n=-\frac{5}{3}\end{array}$

Do đó $n=4$ thoả mãn điều kiện

Với $n=4$ ta có

 ${\left(x-x^2\right)}^4=C_4^0{x}^4{\left(-x^2\right)}^0+C_4^1{x}^3\left(-x^2\right)+C_4^2{x}^2{\left(-x^2\right)}^2+C_4^{3}x{\left(-x^2\right)}^3+C_4^4{x}^0{\left(-x^2\right)}^4$

$=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8$.

Vậy hệ số của $x^7$ trong khai triển bằng $-4$.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=10!$.

Giả sử các ghế được đánh số từ $1$  đến $10$.

Để có cách xếp sao cho giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1;4;7;10$. Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: $6!.4!$ cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau

Nếu Huyền ngồi ở ghế $1$ hoặc $10$  thì có $1$ cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế $4$  hoặc $7$ thì có $2$  cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2.2=6$

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là$6.3!.5!$ cách

Gọi $A$ là biến cố: “ Giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.

Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left(A\right)=4!.6!-6.5!.3!=12960$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$.