Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) – Đề 3 (có đáp án)

a) Tìm $$\cos \alpha$$ biết $$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{1}{3}$$.

$$\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{1}{3}$$

b) Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc $$\alpha$$ biết $$\cos \alpha =\frac{-4}{5}$$ và $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$$.

$${\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{-4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$$

Vì  $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \sin \alpha =\frac{3}{5}$$

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$$

$$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\frac{4}{3}$$

TXĐ: $$\mathbb{R}$$

$$\forall x\in \mathbb{R}$$, ta có $$-x\in \mathbb{R}$$

$$f\left(-x\right)={\sin }^2\left(-x\right)={\sin }^{2}x=f\left(x\right)$$. Vậy hàm số chẵn.

a) $$2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$$

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$$

b) $$\sin 3x=\cos 2x\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$$

$$\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}$$ $$\iff [\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$$ $$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$$

$S.ABCD$ có đáy \ (ảnh 1)">

a) Chứng minh $$MN$$ song song với $$BC$$.

 $$\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}$$   $$\Rightarrow MN\parallel BC$$

Tìm giao tuyến của $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(SCD\right)$$.

Xét $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(SCD\right)$$ có $$S$$ chung, $$AB\parallel CD;AB\subset \left(SAB\right);CD\subset \left(SCD\right)$$

Giao tuyến là đường thẳng qua $$S$$ và song song với $$AB$$

b) Tìm giao tuyến của $$\left(SAC\right)$$ và $$\left(SBD\right)$$.

$$S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

$$O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

$$\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$$

Tìm giao điểm của $$AN$$ và mặt phẳng $$\left(SBD\right)$$

Gọi $$E=AN\cap SO$$thì $$E\in SO\subset \left(SBD\right)$$

$$E=AN\cap \left(SBD\right)$$

c) Gọi $$\left(\alpha \right)$$ là mặt phẳng chứa $$DM$$ và song song với $$AC$$, cắt $$BC,SC$$ lần lượt tại $$P,K$$. Chứng minh $$K$$ là trọng tâm tam giác $$SBP$$

Xét $$\left(\alpha \right)$$ và $$\left(ABCD\right)$$ có $$D$$ chung, $$AC$$ nằm trong $$\left(ABCD\right)$$ và $$AC\parallel \left(\alpha \right)$$

nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng qua $$D$$ và song song với $$AC$$, cắt $$BC$$ tại $$P$$

Tứ giác $$ACPD$$ là hình bình hành nên $$CP=AD=BC$$

Vì $$M,P,K$$ đều là điểm chung của $$\left(\alpha \right)$$ và $$\left(SBC\right)$$ nên $$M,P,K$$ thẳng hàng

Tam giác $$SBP$$ có 2 trung tuyến $$SC,MP$$ nên $$K$$ là trọng tâm tam giác $$SBP$$.

$$\widehat{AMH}=x\left(0<x<90^{\circ }\right)\Rightarrow \widehat{BMH}=2x$$

$$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{BH}{MH}=\frac{3AH}{MH}=3\tan x$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=30^{\circ }$$

(HS tính ra góc $$\frac{\pi }{6}$$ rad được chấp nhận)