Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) – Đề 5 (có đáp án)

a) Ta có ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1\Rightarrow \cos a=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Do $a\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên nhận $\cos a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)=\sin a\cos \frac{\pi }{3}+\cos a\sin \frac{\pi }{3}$.

$=\left(-\frac{1}{3}\right).\frac{1}{2}+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

b)Ta có $$A=\frac{\left(\sin 7x+\sin x\right)+\sin 4x}{\left(\cos 7x+\cos x\right)+\cos 4x}=\frac{2\sin 4x.\cos 3x+\sin 4x}{2\cos 4x.\cos 3x+\cos 4x}$$

                                                                   $$=\frac{\sin 4x.\left(2\cos 3x+1\right)}{\cos 4x.\left(2\cos 3x+1\right)}=\tan 4x$$

c) Ta có $$2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$$ $$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$$

$$\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

Ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_4=-20\\ u_{19}=55\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-20\\ u_1+18d=55\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-35\\ d=5.\end{array}$

Vậy $u_1=-35,d=5$.

Với mọi$$t$$, ta có: $$sin\left[\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\right]\ge -1$$

 Suy ra: $h(t)=29+3\sin \left[\frac{\pi }{12}(t-9)\right]\ge 26$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $$26^0$$

Xảy ra khi $$\sin \left[\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\right]=-1$$

$$\iff \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$.

$$\iff t=3+24k,k\in \mathbb{Z}$$.

Do $$t$$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên $$0\le t\le 24$$. Suy ra: $$t=3$$

a) Trong $$\left(ABCD\right)$$ gọi $$O=AC\cap BD\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

Ta có  $$S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

Suy ra $$SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

Ta có $$\{\begin{array}{c}S\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\\ AD\parallel BC\\ AD\subset \left(SAD\right);BC\subset \left(SBC\right)\end{array}$$

Suy ra $$Sx=\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$$ với $$Sx\parallel AD\parallel BC$$

b) Ta thấy $$SA\subset \left(SAD\right)$$

Trong $$\left(ABCD\right)$$ gọi $$E=AD\cap MN\Rightarrow E\in \left(SAD\right)\cap \left(MNP\right)$$

Lại có $$P\in \left(SAD\right)\cap \left(MNP\right)$$

Suy ra $$PE=\left(SAD\right)\cap \left(MNP\right)$$

Trong $$\left(SAD\right)$$ gọi $$I=SA\cap PE$$

Mà $$PE\subset \left(MNP\right)\Rightarrow I=SA\cap \left(MNP\right)$$

c) Xét tam giác SAD có : $$I,P,E$$ thẳng hàng và lần lượt thuộc SA,SD,AD

Theo định lý Menelaus ta có $$\frac{IS}{IA}.\frac{PD}{PS}.\frac{EA}{ED}=1\iff \frac{IS}{IA}.1.\frac{EA}{ED}=1$$

Lại có DE song song BC, suy ra $$\frac{DE}{MC}=\frac{ND}{NC}=1\Rightarrow DE=MC\Rightarrow DE=\frac{1}{2}DA\Rightarrow \frac{EA}{ED}=3$$

Khi đó ta có $$\frac{IS}{IA}.1.3=1\Rightarrow \frac{IS}{IA}=\frac{1}{3}$$.

Ta có $2{\sin }^{3}2x-\left(2m-1\right){\sin }^{2}2x+\left(3m-5\right)\sin 2x-m+2=0$

        $\iff \left(2\sin 2x-1\right)\left(\sin 2x-1\right)\left(\sin 2x+2-m\right)=0$

       $\iff [\begin{array}{c}\sin 2x=\frac{1}{2}\\ \sin 2x=1\\ \sin 2x=m-2\end{array}$.

Do $x\in \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow 2x\in \left[0;3\pi \right]$ bảng biến thiên của hàm số $y=\sin 2x$

2sin32x−(2m−1)sin22x+(3m−5)sin2x−m+2=0 có đúng 10 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$. (ảnh 1)">

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy

+ Phương trình $\sin 2x=\frac{1}{2}$ có 4 nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$

+ Phương trình $\sin x=1$ có 2 nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$

+ Để phương trình có 10 nghiệm thuộc đoạn  $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ thì $\{\begin{array}{c}0\le m-2<1\\ m-2\ne \frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\le m<3\\ m\ne \frac{5}{2}\end{array}$ .