Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) – Đề 7 (có đáp án)

1) Giải các phương trình sau:

a) $\tan x=\sqrt{3}$.

Ta có:  $\tan x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\sin 2x-\cos x=0$.

Cách 1:

$$\sin 2x-\cos x=0\iff \sin 2x=\cos x\iff \cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\cos x$$.

$$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ x=2x-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ -x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}-k2\pi \end{array}$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

Cách 2:

$$\sin 2x-\cos x=0\iff \left(2\sin x-1\right)\cos x=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \cos x=0\end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

2) Cho góc $a$ thỏa mãn $\sin a=\frac{1}{3}$ và $$\frac{\pi }{2}<a<\pi$$. Tính $\cos a$và $\tan 2a$.

Ta có: ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=\frac{8}{9}$. Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$. Do đó $\cos a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Suy ra $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$.

a) Tính lương của anh Hùng vào năm thứ $3$làm việc cho công ty.

Lương của anh Hùng ở năm thứ 2 là $T_2=T_1+18=150+18=168$ (triệu đồng).

Lương của anh Hùng ở năm thứ 3 là $T_3=T_2+18=168+18=186$ (triệu đồng).

b) Chứng minh $\left(T_n\right)$ là dãy số tăng.

Vì $T_{n+1}-T_n=18>0$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$nên $\left(T_n\right)$ là dãy số tăng.

Gọi $O=AC\cap BD$.  Ta được $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$.

Xét tam giác $\left(SAC\right)$  có $O$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$.

Ta có $\{\begin{array}{l}OM//SC\\ SC\subset \left(SCD\right)\\ OM\not\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow OM//\left(SCD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ có $BN\cap AD=E$.

Trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$ có $EM\cap SD=F\Rightarrow F=SD\cap \left(BMN\right)$.

Tam giác $SAE$ có $D$ là trung điểm của $AE$; $M$ là trung điểm của $SA$.

Suy ra $F$ là trọng tâm tam giác $SAE$, do đó $\frac{SF}{FD}=2$.

Nhiệt độ ngoài trời lúc 7 giờ tối là

$h\left(19\right)=31+3\sin \frac{\pi }{12}\left(19-9\right)=31+3\sin \frac{5\pi }{6}=32.5$.

Ta luôn có

$-1\le \sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 1\Rightarrow -3\le 3\sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 3\Rightarrow 28\le 31+3\sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 34$

Do đó $h\left(t\right)=34\iff \sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=1\iff \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=15+24k,k\in \mathbb{Z}.$

Vì $0<t\le 24$ nên $t=15$.

Vậy vào thời điểm $15$ giờ thì nhiệt độ ở thành phố đó lớn nhất.