Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo – Đề 7 (có đáp án)

a) $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=\frac{-1}{2}$

$\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$$\iff [\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ;\frac{7\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\tan \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)+2\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}(*)$

Điều kiện $$\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)\ne 0\\ \sin \left(\frac{\pi }{18}-x\right)\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{4\pi }{9}+x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{\pi }{18}-x\ne l\pi \end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{8}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{8}-k\pi \end{array}\iff x\ne \frac{\pi }{8}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

Ta có $\left(\frac{4\pi }{9}+x\right)+\left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \tan \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)=\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right).$

Khi đó $(\ast )\iff \cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)+2\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}$

$\iff 3\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}\iff \cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$$\iff \frac{\pi }{18}-x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=-\frac{5\pi }{18}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $$x=-\frac{5\pi }{18}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Ta có $u_n=\frac{5^n}{n^2}>0,\forall n\in \mathbb{N}\ast \Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}$.

Xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}\cdot \frac{n^2}{5^n}=\frac{5n^2}{n^2+2n+1}$

$=\frac{n^2+2n+1+4n^2-2n-1}{n^2+2n+1}=1+\frac{2n\left(n-1\right)+2n^2-1}{n^2+2n+1}>1,\forall n\in \mathbb{N}\ast$.

Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

a) Ta có: $$\{\begin{array}{l}{E}^{\prime }\in A^{\prime }{B}^{\prime }\subset \left(SAB\right)\\ E^{\prime }\in C^{\prime }{D}^{\prime }\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow E^{\prime }\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$$

    Mặt khác $$\{\begin{array}{l}E\in AB\subset \left(SAB\right)\\ E\in CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$$

    Do đó $$E{E}^{\prime }=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$$   

    Mà $$S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$$ nên $$S\in E{E}^{\prime }.$$

    Vậy ba điểm $$S,E,E^{\prime }$$ thẳng hàng.

b) Trong $$\left(\alpha \right)$$gọi $$\left\{M\right\}=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$$

    Ta có: $$\{\begin{array}{l}O\in AC\subset \left(SAC\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$.

c) Ta có $$O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

    Mà $S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$

    Lại có: $$\{\begin{array}{l}M\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset \left(SAC\right)\\ M\in B^{\prime }{D}^{\prime }\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$

    Vậy $M\in SO$ hay $$A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{D}^{\prime },SO$$ đồng quy tại $$M.$$

Đặt $P_0=2000000=2\cdot 10^6$ và $r=1,2\%=0,012.$

Gọi $P_n$ là số dân của tỉnh M sau $n$ năm nữa.

Ta có: $P_{n+1}=P_n+P_{n}r=P_n\left(1+r\right).$

Suy ra $\left(P_n\right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $P_0$ và công bội $$q=1+r.$$

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

$$P_{10}=P_0{\left(1+r\right)}^9=2\cdot 10^6\cdot {\left(1,012\right)}^9\approx 2226663$$ (người).

Vậy số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa khoảng $$2226663$$ người.