Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo – Đề 8 (có đáp án)

a) $\cot \frac{2x}{3}=\sqrt{3}\iff \cot \frac{2x}{3}=\cot \frac{\pi }{6}$

$\iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k3\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k3\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$.

b) $\sin \left(\pi -x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=0$

$\iff \sin x-\sin 2x=0\iff \sin 2x=\sin x$

$$\iff [\begin{array}{l}2x=x+k2\pi \\ 2x=\pi -x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $$S=\left\{k2\pi ;\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Xét $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{\left(k-1\right)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2$.

Suy ra $$u_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$$

$$<\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2}.$$

$\Rightarrow 0<u_n<\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}\ast$.

Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn.

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên  nên $$AB//CD$$; $$AD//BC$$.

Ta có : $\{\begin{array}{l}AD//CB\\ AD\subset \left(SAD\right)\\ BC\subset \left(SBC\right)\\ K\in \left(KBC\right)\cap \left(SAD\right)\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}Kx=\left(KBC\right)\cap \left(SAD\right)\\ Kx//AD//BC\end{array}$.

Trong $$\left(SAD\right)$$ gọi $J=Kx\cap SA$ có

$\{\begin{array}{l}J\in SA\\ J\in Kx\subset (BKC)\end{array}\Rightarrow J=SA\cap (BKC)$

b) Ta có $$OI$$ là đường trung bình của $\Delta SBD\Rightarrow OI//SD$.

Mặt khác $\{\begin{array}{l}OI//SD\\ OI\subset \left(OIA\right)\\ SD\subset \left(SCD\right)\\ C\in \left(OIA\right)\cap \left(SCD\right)\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}Cy=\left(OIA\right)\cap \left(SCD\right)\\ Cy//SD//OI\end{array}$.

c) Ta có

• $IJ//AB$ ($$IJ$$ là đường trung bình của $\Delta SAB$)

• $AB//CD$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)

Do đó $$CD//IJ$$.

Ta có :$$\{\begin{array}{l}CD//IJ\\ CD\not\subset \left(IJK\right)\\ IJ\subset \left(IJK\right)\end{array}$$$$\Rightarrow CD//\left(IJK\right)$$.

Gọi $h_n$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ $n\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$.

$l_n$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ $n\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$.

Theo đề bài, ta có $h_1=55,8;l_1=\frac{1}{10}\cdot 55,8=5,58$ và các dãy số $\left(h_n\right),\left(l_n\right)$ là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{10}.$

Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:

$$S=\frac{h_1}{1-\frac{1}{10}}+\frac{l_1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{10}{9}\left(h_1+l_1\right)=68,2(\mathrm{m})$$.

Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là $$68,2\mathrm{m}$$.