Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức – Đề 8 (có đáp án)

Hướng dẫn giải:

a) $\sin 3x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0\iff -\sin 3x=\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{2}+3x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

$\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}-x=\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-x=-\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{24}-\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-\frac{\pi }{24}-\frac{k\pi }{2};-\frac{5\pi }{12}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$

$\iff 2{\cos }^{2}x-1=0$

$\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $\cos 3x+\cos 2x+\cos x+1=0$

$\iff \left(\cos 3x+\cos x\right)+\left(\cos 2x+1\right)=0$

$\iff 2\cos 2x.\cos x+2{\cos }^{2}x=0$

$\iff 2\cos x\left(\cos 2x+\cos x\right)=0$

$\iff 4\cos x.\cos \frac{3x}{2}.\cos \frac{x}{2}=0$

$\iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos \frac{3x}{2}=0\\ \cos \frac{x}{2}=0\end{array}$

TH1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

TH2: $\cos \frac{3x}{2}=0\iff \frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+m\pi ,m\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{2m\pi }{3},m\in \mathbb{Z}$.

TH3: $\cos \frac{x}{2}=0\iff \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}\iff x=\pi +2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$.

Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:

sin3x+cos(3π​−x)=0;  (ảnh 1)">

Nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm $B,B^{\prime }$.

Nghiệm $\frac{\pi }{3}+\frac{2m\pi }{3},m\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm $B_1,B_2,B_3$.

Nghiệm $\pi +2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi điểm $B_2$.

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có các nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $\frac{\pi }{3}+\frac{2m\pi }{3},m\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hướng dẫn giải:

S.ABCD (ảnh 1)">

a) Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $BD$.

Xét tam giác $SBD$ có $O$ là trung điểm $BD$, $M$ là trung điểm $SD$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SBD\Rightarrow OM//SB$.

b) Kéo dài $BG$ cắt $CD$, $AD$ lần lượt tại $I$, $J$. Kéo dài $JM$ cắt $SA$ tại $K$.

Khi đó $K\in \left(MBG\right)$, do đó $K$ là giao điểm của $SA$ và $\left(MBG\right)$.

c) Vì $I$ là giao điểm của $BG$ và $CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$.

Ta chứng minh được $I$ là trung điểm của $JB$.

Tam giác $ABJ$ có $DI//AB$, $I$ là trung điểm $JB$ nên $DI$ là đường trung bình tam giác $ABJ$.

$\Rightarrow D$ là trung điểm $$JA$$.

Từ $D$ kẻ $DN//AK\left(N\in JK\right)$. Khi đó $DN$ là đường trung bình của tam giác $AKJ$

$\Rightarrow \frac{DN}{AK}=\frac{1}{2}$ hay $AK=2DN$.

Mặt khác, xét $\Delta MND$ và $\Delta MSK$ có:

$\widehat{SKM}=\widehat{DNM}$ (2 góc so le của $SK//ND$)

$SM=MD\left(=\frac{1}{2}SD\right)$ ($S$ là trung điểm $AD$)

$\widehat{SMK}=\widehat{DMN}$ (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta MND=\Delta MSK\left(\mathrm{g}.c.g\right)\Rightarrow SK=ND$.

$\Rightarrow \frac{AK}{AS}=\frac{AK}{AK+KS}=\frac{2DN}{2DN+DN}=\frac{2}{3}$$\left(1\right)$

Lại có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\frac{OG}{OC}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{AG}{AC}=\frac{AO+OG}{2OC}=\frac{OC+\frac{1}{3}OC}{2OC}=\frac{\frac{4}{3}OC}{2OC}=\frac{2}{3}$$\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $\frac{AK}{AS}=\frac{AG}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow KG//SC$ (định lí Talet trong tam giác $SAC$). (đpcm)

Xét tam giác $SCD$ có $M,I$ lần lượt là các trung điểm $SD,DC$ nên $MI$ là đường trung bình tam giác $SCD\Rightarrow MI//SC$, mà $KG//SC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow MI//KG\Rightarrow \frac{JM}{MK}=\frac{JI}{IG}$.

Ta có: $DI$ là đường trung bình $\Delta ABJ$ nên $I$ là trung điểm $BJ\Rightarrow BI=IJ=\frac{1}{2}BJ$.

$G$ là trọng tâm $\Delta BCD$ nên $\frac{GI}{BI}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{JI}{IG}=\frac{BI}{\frac{1}{3}BI}=3\Rightarrow \frac{JM}{KM}=3\Rightarrow \frac{JM}{JK}=\frac{JM}{JM+MK}=\frac{3}{4}$.

Vậy $\frac{JM}{JK}=\frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Giả sử đa giác đã cho có $n$ cạnh $\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 3\right)$ và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_n=44$. Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng $\left(u_n\right)$, tức là:

$S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left(u_1+44\right)}{2}=158$

$\iff n\left(u_1+44\right)=316$

Vì $n$ và $u_1+44$ là một số nguyên dương nên $u_1+44\in$Ư$\left(316\right)=\left\{1;2;4;79;158;316\right\}$.

Mặt khác $n\ge 3$ nên $44<u_1+44\le \frac{316}{3}\iff 44<u_1+44\le 105$.

$\Rightarrow u_1+44=79\iff u_1=35$.

Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.