Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức – Đề 9 (có đáp án)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $v_n=u_n+3\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}+3$

Xét $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}+3}{u_n+3}=\frac{4u_n+9+3}{u_n+3}=\frac{4\left(u_n+3\right)}{u_n+3}=4\Rightarrow \left(v_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội $q=4$ và $v_1=u_1+3=2+3=5$.

$\Rightarrow v_n=v_1.q^{n-1}=5.4^{n-1}$.

Vậy cấp số nhân $\left(v_n\right)$ có số hạng tổng quát $v_n=5.4^{n-1}$.

b) Gọi $$T_n$$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left(v_n\right)$ và $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy số $\left(u_n\right)$. Khi đó $T_n=v_1+v_2+...+v_n$ và $S_n=u_1+u_2+...+u_n$.

Ta có: $T_n=v_1+v_2+...+v_n=\left(u_1+3\right)+\left(u_2+3\right)+...+\left(u_n+3\right)$

$=\left(u_1+u_2+...+u_n\right)+3n=S_n+3n$

$\Rightarrow S_n=T_n-3n$

$\Rightarrow S_{10}=T_{10}-3.10=\frac{v_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}-3.10=\frac{5\left(1-4^{10}\right)}{1-4}-30=1747595$.

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của $\left(u_n\right)$ là 1 747 595.

a) Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BI$, khi đó $SE$ nằm trên mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

Mà $IJ$ và $SE$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left(SIB\right)$, nên giao điểm của $IJ$ và $SE$ chính là giao điểm giữa $IJ$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

Vậy $K$ là giao điểm giữa $IJ$ và $SE$.

b) Gọi giao điểm giữa $AC$ và $BD$ là $F$.

Trong mặt phẳng $\left(SBD\right)$ lấy $DJ$ giao với $SF$ tại $L$.

Vì $SF$ nằm trên $\left(SAC\right)$ nên $L$ là giao điểm giữa $DJ$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

c) $K\in IJ\Rightarrow K\in \left(OAJ\right)$, mà $K\in \left(SAC\right)$ nên $K$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left(OAJ\right)$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)\Rightarrow$$K$ thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).

Tương tự, $L\in JD\Rightarrow L\in \left(OAJ\right)$, mà $L\in \left(SAC\right)$ nên $L$ thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng $\left(OAJ\right)$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ (2).

Mặt khác, $M\in OJ\Rightarrow M\in \left(OAJ\right)$, mà $M\in SC\Rightarrow M\in \left(SAC\right)\Rightarrow M$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left(OAJ\right)$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$, kết hợp $A$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left(OAJ\right)$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)\Rightarrow AM$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left(OAJ\right)$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $A,K,L,M$ thẳng hàng. (đpcm)

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left(2\sin x-1\right)\left(3\cos 2x+2\sin x-m\right)=3-4{\cos }^{2}x$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left(3\cos 2x+2\sin x-m\right)=4{\sin }^{2}x-1$

$$\iff \left(2\sin x-1\right)\left(3\cos 2x+2\sin x-m\right)=\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin x+1\right)$$

$$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[\left(3\cos 2x+2\sin x-m\right)-\left(2\sin x+1\right)\right]=0$$

$$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[3\cos 2x-\left(m+1\right)\right]=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}2\sin x-1=0\\ 3\cos 2x-\left(m+1\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \cos 2x=\frac{m+1}{3}\end{array}$$

Xét $\sin x=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. Khi đó trong khoảng $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ có 1 nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$. Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ thì phương trình $$\cos 2x=\frac{m+1}{3}$$ có 2 nghiệm khác $\frac{\pi }{6}$ trong khoảng $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.

Xét hàm số $y=\cos 2x$ trong khoảng $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ có bảng biến thiên như sau:

(2sinx−1)(3cos2x+2sinx−m)=3−4cos2x. Tìm tất cả các giá tr (ảnh 1)">