Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 10 (có đáp án)

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=100\\ b^2=36\end{array}\iff c^2=a^2-b^2=100-36=64\Rightarrow c=8.$

Khi đó, elip có tiêu điểm là $$F_1\left(-8;0\right)$$$$\Rightarrow$$ đường thẳng $$d//Oy$$ và đi qua $$F_1$$ có phương trình là $$x=-8.$$

Giao điểm của $$d$$ và $$\left(E\right)$$ là nghiệm của hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x=-8\\ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=\pm \frac{18}{5}\end{array}.$$

Vậy tọa độ hai điểm $$M\left(-8;\frac{18}{5}\right),N\left(-8;-\frac{18}{5}\right)\Rightarrow MN=\frac{36}{5}$$.

Xét tam thức bậc hai $f\left(a\right)=9a^2-\left(4b+7\right)a+7b^2-5b+3$ với $b$ là tham số

Ta có ${\Delta }_f={\left(4b+7\right)}^2-36\left(7b^2-5b+3\right)=-59{\left(2b-1\right)}^2\le 0$ với mọi $b$.

Suy ra $f\left(a\right)\ge 0\iff 9a^2-\left(4b+7\right)a+7b^2-5b+3\ge 0$

$\iff 7a+5b+12ab-9\le 9a^2+8ab+7b^2-6$

Theo giả thiết ta có $9a^2+8ab+7b^2\le 6$ nên $7a+5b+12ab\le 9$ (đpcm).

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-7y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$.

Do đó, ${\Delta }_1\cap {\Delta }_2=O\left(0;0\right)$. Gọi $A,B$ lần lượt là hai tiếp điểm của $\left(C^{\prime }\right)$ với ${\Delta }_1,{\Delta }_2.$

Ta có tam giác $OAB$ cân tại $O$ và $K$ thuộc đường phân giác của $\widehat{AOB}$.

Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của $\widehat{AOB}$ là:

$\frac{x-y}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\pm \frac{x-7y}{\sqrt{1^2+{\left(-7\right)}^2}}\iff [\begin{array}{l}2x+y=0\\ x-2y=0\end{array}$ .

Vì $K\in \left(C\right)$ nên tọa độ điểm $K$ là nghiệm của các hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ {\left(x-2\right)}^2+y^2=\frac{4}{5}\end{array}$  (Vô nghiệm)  và  $\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ {\left(x-2\right)}^2+y^2=\frac{4}{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{4}{5}\end{array}$.  

Vậy $K\left(\frac{8}{5};\frac{4}{5}\right).$