Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 4 (có đáp án)

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là $x$ (m) (minh họa như hình vẽ). $\left(0<x<15\right)$

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: $30-2x$ (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: $S\left(x\right)=x\left(30-2x\right)=-2x^2+30x$ (m2).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn $50{\mathrm{m}}^2$ thì:

$S\left(x\right)=-2x^2+30x\ge 50\iff -2x^2+30x-50\ge 0$ (*)

Xét tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-2x^2+30x-50$ có $a=-2<0$

${\Delta }^{\prime }=15^2-\left(-2\right).\left(-50\right)=125$.

Do đó, $f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-15+\sqrt{125}}{\left(-2\right)}=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}\approx 1,91$

$x_2=\frac{-15+\sqrt{125}}{\left(-2\right)}=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}\approx 13,09$

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn $\left[1,91;13,09\right]$.

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn$50{\mathrm{m}}^2$.

Vì $BC$ vuông góc với $\left(d_1\right)$ nên đường thẳng $BC$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(3;2\right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left(x-4\right)+2\left(y+1\right)=0\iff 3x+2y-10=0$.

Điểm $A$ là giao điểm của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ nên ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x-3y+12=0\\ 2x+3y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=2\end{array}\Rightarrow A\left(-3;2\right)$.

Đường thẳng $AC$ nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(4+3;-1-2\right)=\left(7;-3\right)$ là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AC}}=\left(3;7\right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ là:

$3\left(x+3\right)+7\left(y-2\right)=0\iff 3x+7y-5=0$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó điểm $M$ là giao điểm của $d_2$ và $BC$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}3x+2y-10=0\\ 2x+3y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-4\end{array}\Rightarrow M\left(6;-4\right)$.

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_B=2.6-4=8\\ y_B=2.(-4)-(-1)=-7\end{array}\Rightarrow B\left(8;-7\right)$.

Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(11;-9\right)$ là vectơ chỉ phương và nhận vectơ $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(9;11\right)$ là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của đường thẳng $AB$ là:

$9\left(x-8\right)+11\left(y+7\right)=0\iff 9x+11y+5=0$.

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{HG}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_I-3=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{3}-3\right)\\ y_I-2=\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3}-2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_I=1\\ y_I=3\end{array}\Rightarrow I\left(1;3\right)$.

Gọi $M$là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IM\perp BC$ $\Rightarrow IM:2x-y+c=0$.

Vì $I\in IM\Rightarrow 2.1-3+c=0\Rightarrow c=1$

$\Rightarrow IM:2x-y+1=0$.

$M=IM\cap BC\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x-y=-1\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\Rightarrow M\left(0;1\right)$.

Lại có: $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_A=3.\frac{5}{3}\\ y_A-1=3.\left(\frac{8}{3}-1\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_A=5\\ y_A=6\end{array}\Rightarrow A\left(5;6\right)$  .

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn tâm $I\left(1;3\right)$ có bán kính $R=IA=5$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$.