Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 2 (có đáp án)

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{4x^2-5x+1}=x-7$ ta được:

$4x^2-5x+1=x^2-14x+49$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $3x^2+9x-48=0$. Từ đó suy ra $x=\frac{-3+\sqrt{73}}{2}$ hoặc $x=\frac{-3-\sqrt{73}}{2}$.

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\varnothing$.

Do $BH$ là đường cao nên $AC\perp BH$ nên đường thẳng $AC$có một vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow{u_{AC}}=\overrightarrow{n_{BH}}=\left(5;-2\right)$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là: $\overrightarrow{n_{AC}}=\left(2;5\right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A\left(-1;2\right)$ có phương trình là:

$2\left(x+1\right)+5\left(y-2\right)=0\iff 2x+5y-8=0$.

Do đường thẳng $AC$ giao đường thẳng $CM$ tại $C$ nên tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+5y-8=0\\ 5x+7y-20=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=0\end{array}\Rightarrow C\left(4;0\right)$.

Đặt tọa độ điểm $B\left(a;b\right)$. Do $B\in BH$ nên $5a-2b-4=0$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên$M\left(\frac{-1+a}{2};\frac{2+b}{2}\right)\in CM$

$\iff 5.\frac{-1+a}{2}+7.\frac{2+b}{2}-20=0\iff 5a+7b-31=0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ: $\{\begin{array}{l}5a-2b-4=0\\ 5a+7b-31=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\iff B\left(2;3\right)$.

Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=\left(2;-3\right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0\iff 3x+2y-12=0$.

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là $x$, $y$ (m).

$\left(x,y>0\right)$

Chu vi của bồn trồng hoa là: $4x$ (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: $4y$ (m).

Tổng chu vi của các bồn là: $4x+4y=48\iff x+y-12=0$.

Diện tích của bồn trồng hoa là: $x^2\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Diện tích của bồn trồng cây là: $y^2\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Gọi tổng diện tích của chúng là $S\left({\mathrm{m}}^2\right)$. Khi đó ta có: $S=x^2+y^2$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2=S$ có tâm $O\left(0;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{S}$  và đường thẳng $\Delta :x+y-12=0$.

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm $R$ nhỏ nhất để $\left(C\right)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $\left(C\right)$, đồng thời khi đó điểm $M$ trùng với điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$.

Ta có: $OH\perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{u_{OH}}=\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(1;1\right)$.

Suy ra đường thẳng $OH$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{OH}}=\left(-1;1\right)$.

Phương trình đường thẳng $OH$ là: $-1\left(x-0\right)+1\left(y-0\right)=0\iff x-y=0$

Điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $OH$ và đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ của  $H$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}x+y-12=0\\ x-y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=6\end{array}$.

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.