Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

Với $b>1>a>0$ ta có :

$${\log }_a^2\left(ab\right)=4\iff {\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)}^2=4\iff {\left(1+{\log }_{a}b\right)}^2=4\iff [\begin{array}{l}1+{\log }_{a}b=2\\ 1+{\log }_{a}b=-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}{\log }_{a}b=1\\ {\log }_{a}b=-3\end{array}$$

Vì $\{\begin{array}{l}0<a<1\\ b>1\end{array}$nên ${\log }_{a}b=-3$.

Khi đó :${\log }_a^3\left(a{b}^2\right)={\left({\log }_{a}a+2{\log }_{a}b\right)}^3={\left(1+2.\left(-3\right)\right)}^3=-125$.

Điều kiện $5^x-1>0\iff x>0$.

Ta có ${\log }_2\left(5^x-1\right)\le m\iff 5^x-1\le 2^m$.

Ta có $5^x-1\ge 4$ với mọi $x\ge 1$.

Để bất phương trình có nghiệm $x\ge 1$ thì  nên tổng các giá trị của tham số $m$ bằng $14$.

Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau $$n$$ tháng là:

$$A=200{\left(1+0,58\%\right)}^n=200.1,0058^n$$ (triệu đồng).

Theo đề bài $$A\ge 225\Rightarrow 200.1,0058^n\ge 225\iff 1,0058^n\ge \frac{9}{8}$$$$\iff n\ge {\log }_{1,0058}\frac{9}{8}\approx 20,37$$.

Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.

Gọi \[I\] là trung điểm $$SA$$ thì $$IMNC$$ là hình bình hành nên $$MN//IC$$.

Ta có $$BD\perp \left(SAC\right)$$$$\Rightarrow BD\perp IC$$ mà $$MN//IC$$$$\Rightarrow BD\perp MN$$ nên góc giữa hai đường thẳng $$MN$$ và $$BD$$ bằng $$90^{\circ }$$ hay $$\alpha =90^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha =1$$

Vậy $$\sin \alpha =1$$.

Do \({S_{SAD}} = 3 = \frac{1}{2}.SA.AD \Rightarrow SA = \frac{6}{{2\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).

Mặt khác ta có $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=d\left(A,\left(SBD\right)\right)$.

Kẻ $AH\perp BD$tại $H$, $,AK\perp SH$ tại $K$$\Rightarrow d\left(A,\left(SBD\right)\right)=AK$.

$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{13}\Rightarrow AH=\frac{AB.AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$.

$\Rightarrow AK=\frac{SA.AH}{\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}}=\frac{\sqrt{3}.\frac{2\sqrt{39}}{13}}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{39}}{13}\right)}^2}}=\frac{2\sqrt{51}}{17}$.

Vậy $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=d\left(A,\left(SBD\right)\right)=\frac{2\sqrt{51}}{17}\approx 0,84$.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, kẻ $$HK\perp SI$$.

Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Suy ra $$SH\perp \left(ABCD\right)$$.

$$\{\begin{array}{l}CD\perp HI\\ CD\perp SH\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SIH\right)\Rightarrow CD\perp HK\Rightarrow HK\perp \left(SCD\right)$$

$$CD\parallel AB\Rightarrow d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(H,\left(SCD\right)\right)=HK$$

Suy ra $$HK=\frac{3}{2};HI=AD=\sqrt{3}$$

Trong tam giác vuông SHI ta có $$SH=\sqrt{\frac{H{I}^2.H{K}^2}{H{I}^2-H{K}^2}}=3$$

Vậy $$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.3.\sqrt{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$$.