Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều – Đề 15 (có đáp án)

a.  b. Trong $(SAC):AM\cap SO=I$.

Ta có $\{\begin{array}{l}I\in AM\\ I\in SO\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow I\in AM\cap (SBD)$.

Tam giác $SAC$ có hai đường trung tuyến $AM$ và $SO$ cắt nhau tại $I$, suy ra $I$ là trọng tâm của tam giác $SAC$. Từ đó ta có $IA=2IM$.

c. Trong $(SBD):BI\cap SD=E$.

Ta có $\{\begin{array}{l}E\in SD\\ E\in BI\subset (ABM)\end{array}\Rightarrow I\in SD\cap (ABM)$.

S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Gọi $I$ giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó: (ảnh 1)">

d. Trong $(ABCD):CN\cap BD=F$.

Trong $(SNC):SF\cap MN=J$.

Ta có $\{\begin{array}{l}J\in MN\\ J\in SF\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow J\in MN\cap (SBD)$.

(Sai) Tập xác định hàm số $f(x)$ là $\mathcal{D}={\mathbb{R}}^{+}$

(Vì): Xét $y=f(x)=3{\sin }^{3}x$.

Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ suy ra $\forall x\in \mathcal{D}$ thì $-x\in \mathcal{D}$.

Ta có $f(-x)=3{\sin }^3(-x)=-3{\sin }^{3}x=-f(x)$.

(Đúng) Hàm số $f(x)$ đã cho là hàm số lẻ

(Vì): Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

(Đúng) Tập xác định hàm số $g(x)$ là $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

(Vì): Xét $y=g(x)=-5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ suy ra $\forall x\in \mathcal{D}$ thì $-x\in \mathcal{D}$.

(Đúng) Hàm số $g(x)$ đã cho không chẵn, không lẻ

(Vì): Ta có $\{\begin{array}{l}f\left(-\frac{\pi }{12}\right)=-5\cos \left(-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-5\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{-5\sqrt{3}}{2}\\ f\left(\frac{\pi }{12}\right)=-5\cos \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-5\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}f\left(-\frac{\pi }{12}\right)\ne f\left(\frac{\pi }{12}\right)\\ f\left(-\frac{\pi }{12}\right)\ne -f\left(\frac{\pi }{12}\right).\end{array}$

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Để tàu có thể hạ thủy thì mực nước sâu $4,6m$, tức là

$$\begin{array}{lc}h\left(t\right)=0,8\cos 0,5t+5=4,6& \iff \cos 0,5t=-\frac{1}{2}\\ & \iff 0,5t=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff [\begin{array}{l}t=\frac{4\pi }{3}+k4\pi \\ t=-\frac{4\pi }{3}+l4\pi \end{array}\left(k,l\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$$.

Do $0\le t\le 12$ nên

Với $k=0$, suy ra $t=\frac{4\pi }{3}\approx 4,19$ (giờ).

Với $l=1$, suy ra $t=\frac{2\pi }{3}\approx 2,09$ (giờ).

Vậy, có 2 thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy.

Tìm giao điểm $Q$ của $SO$ với $(MNP)$

Trong $(SAC)$, gọi $Q=SC\cap MI$, mà $MI\subset (MNP)\Rightarrow Q=SC\cap (MNP)$.

$\cos 3x=\sin x\iff \cos 3x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ 3x=-\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

Suy ra nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{4}$.

Độ dài các cạnh của tam giác có thứ tự dạng $x-d$, $x$, $x+d$, với $x>d>0$.

Vì tam giác trên là vuông nên ta có ${\left(x+d\right)}^2=x^2+{\left(x-d\right)}^2\iff x^2-4dx=0\iff [\begin{array}{l}x=0(\mathrm{lo}?\mathrm{i})\\ x=4d.\end{array}$

Mặt khác do chi vi của tam giác bằng $3$ nên ta có

$x-d+x+x+d=3\iff x=1\Rightarrow d=\frac{1}{4}.$

Vậy các cạnh của tam giác có độ dài lần lượt là $\frac{3}{4}$, $1$, $\frac{5}{4}$.