Đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) – Đề 2 (có đáp án)

a) $\lim \left(\sqrt{4n^2+1}-3n\right)=\lim n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-3\right)$.

Vì $$\lim n=+\infty$$ và $$\lim \left(\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-3\right)=2-3=-1<0$$.

Từ đó ta có $$\lim \left(\sqrt{4n^2+1}-3n\right)=-\infty$$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-2}{9-x^2}=$ $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(9-x^2)(\sqrt{x+1}+2)}$ $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{(9-x^2)(\sqrt{x+1}+2)}$

$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{(3-x)(3+x)(\sqrt{x+1}+2)}$$ $$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1}{(3+x)(\sqrt{x+1}+2)}$$ $$=\frac{-1}{(3+3)(\sqrt{3+1}+2)}=-\frac{1}{24}$$.

c) Hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;6\right]\iff$ hàm số liên tục trên khoảng $\left(0;6\right)$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=f\left(0\right)$, $\underset{x\to 6^{-}}{\lim }=f\left(6\right)$.

Ta cóvà $\underset{x\to 6^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 6^{-}}{\lim }\left(1+m\right)=1+m=f\left(6\right)$.

Khi $$x\in \left[0;4\right]$$ thì $$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left(0;4\right)$.

Khi $$x\in \left(4;6\right]$$ thì $$f\left(x\right)=1+m$$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left(4;6\right)$.

Vậy, hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;6\right]\iff$ hàm số liên tục tại diểm $x=4$ $\iff \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ $\iff m+1=\sqrt{4}\iff m=1$.

Đặt $$BC=a;AB=AC=b;AH=h$$. Theo giả thiết ta có $$a,h,b$$ lập cấp số nhân, suy ra

$$h^2=ab.$$ Mặt khác tam giác $$ABC$$ cân tại đỉnh $$A$$ nên $$h^2={m_a}^2=\frac{b^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}$$.

Do đó $$\frac{b^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}=ab\iff a^2+4ab-4b^2=0\iff a=\left(2\sqrt{2}-2\right)b$$.

Lại có $$b=q^{2}a$$ nên suy ra $$q^2=\frac{b}{a}=\frac{1}{2\sqrt{2}-2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$.

Gọi $u_n$ là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty.

Khi đó dãy số $\left(u_n\right)$ lập thành cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=13,5$ và công sai d = 0,5 $\Rightarrow$ $u_{n+1}=u_n+0,5(n\ge 1)$.

Một năm có 4 quý nên 3 năm có tổng 12 quý. Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Vậy tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là:

$S_{12}=\frac{12\left[2.13,5+\mathrm{11.0.5}\right]}{2}=195$ ( triệu đồng).

a)

Ta có: $S\in \left(SA\mathrm{D}\right)\cap \left(SBC\right)$.

Mặt khác $\{\begin{array}{l}A\mathrm{D}\subset \left(SA\mathrm{D}\right)\\ BC\subset (SBC)\\ A\mathrm{D}//BC\end{array}\Rightarrow \left(SA\mathrm{D}\right)\cap \left(SBC\right)=d:$ đi qua $S$ và song song với $AD$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta SIC$ có $\frac{IG}{GS}=\frac{IM}{MC}=\frac{1}{2}\Rightarrow GM//SC$ (Định lý đảo của định lí Talet).

Khi đó ta có $\{\begin{array}{l}GM//SC\\ SC\subset (SAC)\\ GM\not\subset (SAC)\end{array}\Rightarrow GM//(SAC)$.

c) Trong mặt phẳng $\left(ABC\mathrm{D}\right)$, gọi $K=DI\cap AC$.

Trong mặt phẳng $\left(SI\mathrm{D}\right)$, gọi $H=DG\cap SK$.

Vì $SK\subset \left(SAC\right)$ nên ta có $H=DG\cap \left(SAC\right).$