Đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) – Đề 9 (có đáp án)

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x}=2$.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=1$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{5x-1}-x-1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x-1-{\left(x+1\right)}^2}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{5x-1}+x+1\right)}$

$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-x^2+3x-2}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{5x-1}+x+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{\left(\sqrt{5x-1}+x+1\right)}=-\frac{1}{4}$$

Xét tại điểm $x_0=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+9}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x}{x(3+\sqrt{x+9})}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-1}{(3+\sqrt{x+9})}=\frac{-1}{6}$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-\frac{1}{6}\right)=\frac{-1}{6}$

$f(0)=\frac{-1}{6}$

$\Rightarrow f(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ nên hàm số liên tục tại$x_0=0$

a. Trong $\left(ABCD\right)$ gọi $AC\cap BD=O$. Ta có

$\begin{array}{l}O\in AC\\ O\in BD\Rightarrow O\in (SBD)\end{array}$

$\Rightarrow$$O$ là giao điểm của $AC$và$(SBD)$

b. $MO$ là đường trung bình trong tam giác $SBD$$\Rightarrow MO//SB$

mà $MO\not\subset (SAB)\Rightarrow MO//(SAB)$

c. G là trọng tâm tam giác $SAC$$\Rightarrow G$là trọng tâm tam giác $SBD$

$\Rightarrow G\in BM$$\Rightarrow G$là điểm chung của $(\alpha )$ và $\left(SAC\right)$

Mà $(\alpha )//AC\Rightarrow$giao tuyến của $(\alpha )$và $\left(SAC\right)$ là đường thẳng $d$ qua $G$ và song song với $AC$

d. Trong tam giác ABD có $\frac{DI}{IA}=\frac{DJ}{JB}=\frac{1}{2}\Rightarrow IJ//AB\Rightarrow IJ//CD$

mà $IJ\not\subset (SCD)$$\Rightarrow IJ//(SCD)$

Trong tam giác $BMD$ có $\frac{MG}{GB}=\frac{DJ}{JB}=\frac{1}{2}\Rightarrow JG//MD$ mà$MG\not\subset (SCD),MD\subset (SCD)\Rightarrow MG//(SCD)$

$JG$ và $IJ$ cắt nhau cùng nằm trong $\left(GIJ\right)$ $\Rightarrow \left(JGI\right)//(SCD)$

$\Rightarrow SC//(GIJ)$

e.

Trong $\left(ABCD\right)$ gọi $AK\cap BC=H$,vì $KE//SA\Rightarrow E\in (SAH)$mà $E\in (SBC)$, $SH$ là giao tuyến $\left(SAH\right)$ và $\left(SBC\right)$$\Rightarrow E\in SH$

Trong tam giác $SAH$ có $\frac{KE}{AS}=\frac{HK}{HA}$

Trong $\left(ABCD\right)$ gọi $BK\cap AD=N$,chứng minh tương tự ta có $\frac{KF}{BS}=\frac{NK}{NB}$

Mà $\frac{NK}{NB}=\frac{AK}{AH}\Rightarrow \frac{KE}{SA}+\frac{KF}{SB}=\frac{AK}{AH}+\frac{KH}{AH}=1$

$\Rightarrow \frac{AK}{AH}.\frac{KH}{AH}\le \frac{1}{4}{\left(\frac{AK}{AH}+\frac{KH}{AH}\right)}^2=\frac{1}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{AK}{AH}=\frac{KH}{AH}$

$$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}-2x+1\right)\left(x-m\right)-m(x-2)-1}{2m{x}^3-(4m+1)x^2+2(m+1)-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}-x-1\right)\left(x-m\right)-x^2+2x-1}{(x-1)(2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1)}\end{array}$$

$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{{(x-1)}^2(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x-m\right)-{(x-1)}^2}{(x-1)(2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x-m\right)-1}{(2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1)}$$TH 1: 1 là nghiệm của $$2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1=0\Rightarrow m=-1$$. Khi đó

$$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x-m\right)-1}{(2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x+1\right)-1}{-2x^2+x+1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x+1\right)-1}{(x-1)(-2x-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x+1\right)-1}{(-2x-1)}=-\frac{1}{3}\end{array}$$ Không thỏa mãn

TH 2: 1 không là nghiệm của $$2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1=0\Rightarrow m\ne -1$$. Khi đó

$$\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\frac{\frac{(x+3)}{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}+x+1\right)}\left(x-m\right)-1}{(2m{x}^2-(2m+1)x-2m-1)}=0$$(Không thỏa mãn)

Vậy không tồn tại m để $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^3+2x^2-3x+4}-2x+1\right)\left(x-m\right)-m(x-2)-1}{2m{x}^3-(4m+1)x^2+2(m+1)-1}=\frac{20}{23}$$