Đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

a) Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

b) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên $a>0$.

c) Có $a+b+c=f\left(1\right)=\frac{1}{2}<1$.

d) Từ đồ thị ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=\frac{1}{2}\\ f\left(\frac{3}{2}\right)=-1\\ f\left(3\right)=\frac{1}{2}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a+b+c=\frac{1}{2}\\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=-1\\ 9a+3b+c=\frac{1}{2}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8\\ c=\frac{13}{2}\end{array}$.

Suy ra $a-b=10$.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{0}$$\iff -\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=-2\overrightarrow{DM}$

$\iff \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{DM}$.

b) Vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE}$.

Khi đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{DBE}=135^{\circ }$.

c) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

d) Ta có $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AD}}^2-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}={\overrightarrow{AD}}^2=4$.

Ta có $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AC}$$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}$$=-\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AD}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}\right)$$=-\frac{1}{2}2.2\sqrt{2}.\cos 45^{\circ }=-2$.

Do đó $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AC}=2$.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Vì $f\left(x\right)<0$ nên ta tìm các giá trị $x$ ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Do đó $x\in \left(1;3\right)$ mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x=2$.

Trả lời: 2.

$\sqrt{3-2x}=x+1$$\iff \{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 3-2x={\left(x+1\right)}^2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -1\\ 3-2x=x^2+2x+1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x^2+4x-2=0\end{array}$$\iff x=-2+\sqrt{6}$.

Suy ra $a=-2;b=6$. Do đó $T=2a+3b=14$.

Trả lời: 14.

Gọi $x,y\left(x\ge 0;y\ge 0\right)$ lần lượt là số tấn cà phê loại I và loại II mà nhà máy sản xuất.

Theo đề ta có hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+2y\le 15\\ 0,5x+y\le 5\end{array}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=18x+14y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC kể cả các cạnh (phần tô màu).

Do đó $F=18x+14y$ đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong các điểm sau $O\left(0;0\right),A\left(0;5\right),B\left(\frac{5}{2};\frac{15}{4}\right),C\left(5;0\right)$.

Ta có $O\left(0;0\right)$ thì F = 0.

$A\left(0;5\right)$ thì F = 70.

$B\left(\frac{5}{2};\frac{15}{4}\right)$ thì F = 97,5.

$C\left(5;0\right)$ thì $F=90$.

Vậy nhà máy có thể thu lợi lớn nhất là 97,5 triệu đồng.

Trong tam giác AHB, ta có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\Rightarrow \widehat{ABH}\approx 11,3^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{ABC}=90^{\circ }-11,3^{\circ }=78,7^{\circ }$, $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=56,3^{\circ }$.

Suy ra $AB=\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}<span></span>=4\sqrt{26}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{CB}{\sin A}\Rightarrow CB=\frac{AB.\sin A}{\sin C}\approx 17,3$.

Vậy cây cao khoảng 17,3 m.

Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \).

Vẽ hình chữ nhật ABCD.

Vì vật ở trạng thái cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$ $\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AE}$.

Ta có $AB=12,\widehat{CAD}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\Rightarrow \widehat{BAC}=30^{\circ }$.

Tam giác ABC vuông tại B nên $BC=AB\tan 30^{\circ }=12.\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}=AD$.

Độ lớn lực $\overrightarrow{F_2}$ bằng $4\sqrt{3}$ N.

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{12}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=8\sqrt{3}$.

Do vậy $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|=AC=8\sqrt{3}$.