Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Trường hợp 1: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu đỏ có: $C_8^2=28$ cách.

Trường hợp 2: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu xanh có: $C_3^2=3$ cách.

Trường hợp 3: Lấy $1$ quả màu đỏ và $2$ quả màu xanh có: $C_8^1.C_3^2=24$ cách.

Trường hợp 4: Lấy $1$ quả màu xanh và $2$ quả màu đỏ có: $C_3^1.C_8^2=84$ cách.

Số cách để lấy được $3$ quả cầu có đúng hai màu là: $28+3+24+84=139$ cách.

Cách khác:

Số cách lấy $3$ quả bất kì: $C_{12}^3=220$.

Số cách lấy $3$ quả có đủ $3$ màu: $C_8^1.C_3^1.C_1^1=24$.

Số cách lấy $3$ quả chỉ có $1$ màu: $C_8^3+C_3^3=57$.

Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là $220-24-57=139$.

Điểm thi trung bình tám môn thi của học sinh là: $\frac{8+7,5+8,5+7+9+8+6,5+9,5}{8}=8,0$.

Chọn hệ trục tọa độ $$Oxy$$ với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng.

88+7,5+8,5+7+9+8+6,5+9,5​=8,0. (ảnh 2)">

Nhà vòm có dạng nửa elip nên có phương trình chính tắc của elip là $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ ($$a,b>0$$).

Ta có chiều cao của nhà vòm là 5m nên $$OA=h=5$$, chiều rộng của nhà vòm là 20m nên$$BC=2OB=20$$. Suy ra $$OB=10$$.

Ta có tọa độ các điểm: $$C\left(10;0\right)$$ và $$A\left(0;5\right)$$. Thay hai điểm này vào phương trình chính tắc, ta có

$$\{\begin{array}{l}\frac{{10}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\\ \frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=10\\ b=5.\end{array}$$

Suy ra phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$$.

Điểm cách chân tường 5m tương ứng cách tâm 5m (vì từ tâm vòm đến tường là 10m).

Thay $$x=5$$ vào phương trình $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$$, ta tìm được $$y=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$.

Khi đó: $\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\\ c=2\end{array}\Rightarrow T=a+2b-c=5+2.3-2=9$.

Trục lớn: $2a=60\Rightarrow a=30$.

Trục bé: $2b=30\Rightarrow b=15$.

Diện tích hình tròn: $S_T=\pi .15^2$, diện tích elip là $S_E=\pi .15.30$.

Tỉ số diện tích $T=\frac{S_T}{S_E-S_T}=\frac{\pi {.15}^2}{\pi .15.30-\pi {.15}^2}=\frac{15}{30-15}=1$.

Chọn bi màu vàng có $n_1=4$ (cách chọn).

Chọn bi màu đỏ khác số với số trên bi vàng có $n_2=4$ (cách chọn).

Chọn bi màu xanh khác số với số trên bi vàng và màu đỏ có $n_3=4$ (cách chọn).

Vậy số cách lấy ra từ hộp đó$$3$$quả cầu vừa khác màu vừa khác số là $n=n_1.n_2.n_3=64$cách.

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathrm{N}}^{\ast },n\le 28\right)$. Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ .

Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có$C_{30-n}^2$ cách.

Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố$A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$.

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\Rightarrow n=14$.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.