Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng ${\Delta }_1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1\right)$.

b) Đường thẳng ${\Delta }_2$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(2;1\right)$.

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ là nghiệm của hệ

$\{\begin{array}{l}x-y+6=0\\ x=1+2t\\ y=3+t\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}1+2t-3-t+6=0\\ x=1+2t\\ y=3+t\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}t=-4\\ x=-7\\ y=-1\end{array}$.

Vậy hoành độ giao điểm là $-7$.

d) Đường thẳng ${\Delta }_2$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(2;1\right)$ nên nhận $\overrightarrow{n_2}\left(-1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{|1.\left(-1\right)+\left(-1\right).2|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng ngang để chụp ảnh có $7!$ cách.

b) Chọn 1 bạn nam có $C_4^1=4$ cách.

Chọn 1 bạn nữ có $C_3^1=3$ cách.

Do đó có $4.3=12$ cách chọn ra một cặp nam nữ của tổ I để tham gia hát song ca.

c) Có $A_7^3$ cách chọn ra 3 học sinh của tổ I để trực nhật lớp, trong đó 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.

d) Coi 3 bạn nữ là 1 nhóm thì có $3!$ cách xếp 3 bạn nữ trong nhóm.

Suy ra có $5!$ cách xếp 4 bạn nam và nhóm bạn nữ vào 5 vị trí.

Do đó có $3!.5!=720$ cách xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng dọc sao cho 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 20

Số cách chọn một bộ quần áo của Bình là: $5.4=20$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 49

Hai thẻ lấy ra có tổng là một số chẵn khi 2 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn và 8 số lẻ.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $C_7^2+C_8^2=49$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −0,5

Để $A\in \left(d\right)$ thì $\{\begin{array}{l}\frac{7}{2}=2-3t\\ -2=-1+2t\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}t=-0,5\\ t=-0,5\end{array}\iff t=-0,5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2,83

Gọi $I$ là tâm của đường tròn $\left(C\right)$, $H$ là trung điểm của $MN$.

Suy ra $H\left(4;-1\right)$, $\overrightarrow{MN}=\left(0;4\right)=4\left(0;1\right)$.

Đường thẳng $IQ$ đi qua điểm $H\left(4;-1\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}\left(0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$y+1=0$.

Tọa độ điểm $Q$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+6y=0\\ y+1=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-1\end{array}$. Do đó $Q\left(6;-1\right)$.

Ta có $$\overrightarrow{MQ}=\left(2;2\right)$$, $\overrightarrow{NQ}=\left(2;-2\right)$.

Đường thẳng $IM$ đi qua $M\left(4;-3\right)$ và nhận $\overrightarrow{MQ}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$2\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)=0$$\iff x+y-1=0$.

Đường thẳng $IN$ đi qua $N\left(4;1\right)$ và nhận $\overrightarrow{NQ}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$2\left(x-4\right)-2\left(y-1\right)=0$$\iff x-y-3=0$.

Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}$. Do đó $I\left(2;-1\right)$.

Bán kính của đường tròn $\left(C\right)$ là $R=IM=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(-3+1\right)}^2}=2\sqrt{2}\approx 2,83$.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự tăng dần ta được: 7; 8; 11; 13; 15; 18; 19; 20; 22.

Ta có $Q_1=\frac{8+11}{2}=9,5$; $Q_3=\frac{19+20}{2}=19,5$.

Suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=19,5-9,5=10$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$.

Ta có $C_n^1+C_n^2=15$$\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=15$$\iff n^2+n-30=0$$\iff [\begin{array}{l}n=5\\ n=-6\end{array}$$\Rightarrow n=5$.

Với $n=5$ ta có ${\left(x+\frac{2}{x^4}\right)}^5=x^5+5.x^4.\frac{2}{x^4}+10.x^3.{\left(\frac{2}{x^4}\right)}^2+10.x^2.{\left(\frac{2}{x^4}\right)}^3+5.x.{\left(\frac{2}{x^4}\right)}^4+{\left(\frac{2}{x^4}\right)}^5$

$=x^5+10+\frac{40}{x^5}+\frac{80}{x^{10}}+\frac{80}{x^{15}}+\frac{32}{x^{20}}$.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển trên là $10$.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{18}^3=816$.

Gọi C là biến cố: “Chọn được nhiều nhất hai viên bi xanh”.

Th1: Chọn 2 bi xanh và 1 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_5^2.C_{13}^1=130$ cách.

Th2: Chọn 1 bi xanh và 2 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_5^1.C_{13}^2=390$ cách.

Th3: Chọn 0 bi xanh và 3 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_{13}^3=286$ cách.

Suy ra $n\left(C\right)=130+390+286=806$.

Xác suất của biến cố $C$ là $P\left(C\right)=\frac{806}{816}=\frac{403}{408}$.