Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền cần giảm giá bán mỗi máy tính xách tay ($0\le x<3$).

Gọi $y$ là số máy tính bán được tăng thêm sau khi giảm giá bán.

Từ giả thiết ta có $\frac{x}{0,5}=\frac{y}{5}\iff y=10x$.

Suy ra, số máy tính bán được trong một tháng là $20+10x$.

Khi đó, lợi nhuận thu được là: $f\left(x\right)=\left(3-x\right)\left(20+10x\right)$ với $0\le x<3$.

Lợi nhuận thu được cao nhất khi hàm số $f\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\left[0;3\right)$

Ta có $f\left(x\right)=-10x^2+10x+60=-10{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{125}{2}\le \frac{125}{2},\forall x\in \left[0;3\right)$.

Suy ra giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ trên $\left[0;3\right)$ bằng $\frac{125}{2}$, đạt được khi $x=\frac{1}{2}$.

Do đó, lợi nhuận thu được là cao nhất khi giảm giá bán mỗi máy tính $0,5$ triệu đồng.

Vậy giá bán mỗi máy tính là $17,5$ triệu đồng.

Điều kiện: $$x\ne 0;x\ne -2$$.

Ta có $$\frac{x-1}{x}-\frac{6}{x+2}+2\le 0\iff \frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)-6x+2x\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\le 0\iff \frac{3x^2-x-2}{x^2+2x}\le 0$$.

Ta có bảng xét dấu sau

$\frac{x-1}{x}-\frac{6}{x+2}+2\le 0$ là (ảnh 1)">

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là $$S=\left(-2;-\frac{2}{3}\right]\cup \left(0;1\right]$$.

Kết hợp giả thiết ta có các nghiệm nguyên thỏa mãn là: $$\left\{-1;1\right\}$$.

Ta có: $x^2+y^2-2mx+2\left(m+1\right)y+5=0\left(1\right)$.

Phương trình $\left(1\right)$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $m^2+{\left(m+1\right)}^2-5>0\iff m^2+m-2>0\iff [\begin{array}{c}m>1\\ m<-2\end{array}\left(\ast \right)$.

Khi đó đường tròn có bán kính $R=\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2-5}=\sqrt{2m^2+2m-4}$.

Ta có $R\le 2\sqrt{2}\iff \sqrt{2m^2+2m-4}\le 2\sqrt{2}\iff m^2+m-6\le 0\iff -3\le m\le 2$.

Kết hợp điều kiện $\left(\ast \right)$ ta được $m\in \left[-3;-2\right)\cup \left(1;2\right]$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-3;2\right\}$. Vậy có $2$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.

Ta đánh số các ghế ngồi theo thứ tự từ trái sang phải lần lượt là $1,2,3,4,5,6,7,8$.

Có hai phương án để các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau là:

Phương án 1: các bạn nam ngồi các ghế $1,3,5,7$ và các bạn nữ ngồi các ghế $2,4,6,8$.

Có $4!$ cách xếp $4$ bạn nam vào các ghế $1,3,5,7$.

Có $4!$ cách xếp $4$ bạn nữ vào các ghế $2,4,6,8$.

Suy ra có $4!.4!=576$ cách xếp.

Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế $1,3,5,7$ và các bạn nam ngồi các ghế $2,4,6,8$.

Có $4!$ cách xếp $4$ bạn nữ vào các ghế $1,3,5,7$.

Có $4!$ cách xếp $4$ bạn nam vào các ghế $2,4,6,8$.

Suy ra có $4!.4!=576$ cách xếp.

Vậy có $576+576=1152$ cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau.

Gọi $A$ là biến cố “số được chọn là một số chẵn”

Số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là $A_5^4=120$

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{120}^1=120$

Số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau $2A_4^3=48$

Số kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{48}^1=48$

Vậy xác xuất để số được chọn là một số chẵn là:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ b=5\end{array}\Rightarrow T=a+b=2+5=7$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_5^3=10$.

Gọi A là biến cố: “An thắng lượt chơi khi An là người chọn thẻ”.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ ghi số 2 và 2 thẻ ghi số 3. Số cách chọn là: $C_2^1{C}_2^2$.

Trường hợp 2: Chọn được 2 thẻ ghi số 2 và 1 thẻ ghi số 4. Số cách chọn là: $C_2^2{C}_1^1$.

Suy ra số phần tử của biến cố A là: $n\left(A\right)=C_2^1{C}_2^2+C_2^2{C}_1^1=3$.

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{10}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ b=10\end{array}\Rightarrow T=3a+b=3.3+10=19$.