Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $$\left(OA,OB\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{8}+k2\pi =\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

b) Ta thấy $$A,C,E,G$$ lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác $$0rad,\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}rad,$$ $$\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{2}rad,\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}rad$$,…. Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau $$\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}rad$$. Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là $$\genfrac{}{}{0ex}{}{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

c) Ta thấy hai điểm $$A,E$$ lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác $$0^{\circ },180^{\circ },360^{\circ },$$$$540^{\circ },...$$Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau $$180^{\circ }$$. Vì vậy công thức duy nhất cho các góc lượng giác ấy là $$k180^{\circ }\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

d) Theo hệ thức Chasles, ta có:

$$\left(OA,OB\right)+\left(OB,OC\right)=\left(OA,OC\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

$$\left(OA,OC\right)+\left(OC,OH\right)=\left(OA,OH\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

 

Vì $$-1\le \sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]\le 1$$ nên $$-2,83\le 2,83\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]\le 2,83.$$

Do đó, $$9,17\le 12+2,83\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]\le 14,83\forall t\in \mathbb{R}.$$

Vậy tập giá trị của hàm số $$L\left(t\right)$$ là $$\left[9,17;14,83\right].$$

Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$$\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]=-1$$ $$\iff \frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$$ $$\iff t=-\frac{45}{4}+365k\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vì $$0<t\le 365$$ nên $$k=1$$ suy ra $$t=-\frac{45}{4}+365=353,75$$.

Do đó, vào ngày thứ 353 của năm thì thành phố sẽ có ít giờ ánh sáng nhất.

Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$$\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]=1$$$$\iff \frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$ $$\iff t=171,25+365k\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vì $$0<t\le 365$$ nên $$k=0$$ suy ra $$t=171,25.$$

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều ánh sáng mặt trời nhất.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: $$\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=54\\ u_5-u_3=108\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.q^3-u_1.q=54\\ u_1.q^4-u_1.q^2=108\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.\left(q^3-q\right)=54\\ u_1.\left(q^4-q^2\right)=108\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.\left(q^3-q\right)=54\\ \frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2\end{array}$$

     $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.\left(q^3-q\right)=54\\ q=2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=9\\ q=2\end{array}$$.

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là $$u_1=9.$$

b) Công bội của cấp số nhân là $$q=2.$$

c) Ta có: $$S_n=4599$$ $$\iff \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=4599$$ $$\iff \frac{9.\left(1-2^n\right)}{1-2}=4599$$.

$$\iff -9.\left(1-2^n\right)=4599$$ $$\iff 1-2^n=-511$$ $$\iff 2^n=512$$ $$\iff n=9$$.                                                                                               

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng $$4599$$.

d) Ta có: $$u_k=576$$ $$\iff u_1.q^{k-1}=576$$ $$\iff 9.2^{k-1}=576$$ $$\iff 2^{k-1}=64$$ $$\iff k=7.$$

Vậy số $$576$$ là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2021

Ta có: $$y=2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x+2018$$

              $$=1+\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2018$$

              $$=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2019$$

              $$=2\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)+2019$$

              $$=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+2019$$

Ta thấy: $$-1\le \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$$

              $$\iff -2\le 2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 2$$

              $$\iff 2017\le 2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+2019\le 2021$$.

Vậy giá trị lớn nhất của $$y=2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x+2018$$ là $$2021$$. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 14

Ta có: $$-1\le \cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$$ $$\iff 9\le 3\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)+12\le 15$$.

Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.

Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng $$15\left(m\right)$$ khi

$$\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$$$$\iff t=-2+16k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

Vì trong một ngày có 24 giờ nên $$0\le -2+16k\le 24\iff \frac{1}{8}\le k\le \frac{26}{16}$$.

Vì $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=1$$$$\Rightarrow t=14$$giờ.

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi $$t$$ bằng $$14$$ giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3072

Gọi $$q$$ là công bội của cấp số nhân $$\left(u_n\right)$$.

Ta có: $$u_2=u_1.q=3q;u_3=u_1.q^2=3q^2.$$

Suy ra $$15u_1-4u_2+u_3=45-12q+3q^2$$$$=3{\left(q-2\right)}^2+33\ge 33,\forall q\in \mathbb{R}.$$

Ta có: $$15u_1-4u_2+u_3$$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$33$$ khi và chỉ khi $$3{\left(q-2\right)}^2=0\iff q=2.$$

Khi đó, $$u_{11}=u_1.q^{10}=3072.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 8

Gọi $$u_n$$ là lương anh Nam nhận được ở năm thứ $$n$$.

Ta có lương khởi điểm là $$35000$$ đô la mỗi năm nên $$u_1=35000$$.

Mỗi năm được tăng thêm $$1400$$ đô la nên $$u_n=u_{n-1}+1400,n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Như vậy dãy số tiền lương mà anh Nam nhận được qua các năm là $$u_1;u_2;.....;u_n$$ là một cấp số cộng với $$u_1=35000$$; $$d=1400$$.

Áp dụng công thức tính tổng $$n$$ số hạng đầu của cấp số cộng với $$S_n=319200$$; $$u_1=35000$$; $$d=1400$$.

Ta có: $$319200=S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)1400\right]}{2}$$

$$\iff 1400n^2+68600n-638400=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}n=8\left(TM\right)\\ n=-57\left(L\right).\end{array}$$

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là $$319200$$ đô la.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,75

Ta có: $$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+....+\frac{1}{n\left(n+2\right)}$$

       $$=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+....+\frac{2}{n\left(n+2\right)}\right]$$

       $$=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right]$$

       $$=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+....+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right]$$

       $$=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right]$$

       $$=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$.

Do đó, $$\lim \left[\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+....+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right]=\lim \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}=0,75$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

$S.ABCD$ có đáy \[ABCD (ảnh 1)">

Gọi \[F = AB \cap CD\]. Nối $$F$$ với $$M$$, $$FM\cap SC=N$$. Khi đó, $$N$$ là giao điểm của $$\left(ABM\right)$$ và $$SC$$.

Theo giả thiết, ta có $$AD=2BC$$ và $$AD\parallel BC$$ do đó $$BC$$ là đường trung bình của tam giác $$FAD$$.

Suy ra $$C$$ là trung điểm của $$FD$$.

Trong mặt phẳng $$\left(SCD\right)$$ kẻ $$CE\parallel NM,\left(E\in SD\right)$$.

Do $$C$$ là trung điểm $$FD$$ nên suy ra $$E$$ là trung điểm $$MD$$ và $$M$$ là trung điểm $$SE$$.

Do $$MN\parallel CE$$ và $$M$$ là trung điểm $$SE$$ nên $$MN$$ là đường trung bình của tam giác $$SCE.$$

Từ đó suy ra $$N$$ là trung điểm $$SC$$ và $$\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}=0,5.$$