Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Ta có: $$2\sin x-\sqrt{2}=0$$$$\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$$ $$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Với $$k=-1$$ ta có: $$[\begin{array}{l}x=-\frac{7\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{4}\end{array}$$.

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $$x=-\frac{5\pi }{4}$$.

Với $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{4}+k2\pi <\frac{\pi }{2}$ $\iff -\frac{3\pi }{4}<k2\pi <\frac{\pi }{4}$ $\iff -\frac{3}{8}<k<\frac{1}{8}$

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0$$ và $$x=\frac{\pi }{4}$$.

Với $-\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}+k2\pi <\frac{\pi }{2}$ $\iff -\frac{5\pi }{4}<k2\pi <-\frac{\pi }{4}$ $\iff -\frac{5}{8}<k<-\frac{1}{8}$ 

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên không có giá trị $$k$$ thỏa mãn.

Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng $$\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$$ là một nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

 

a) Tại thời điểm $$8$$ giờ sáng thì ta có: $$t=8-6=2.$$

Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $$8$$ giờ sáng là:

$$S\left(2\right)=40\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}.2\right)\right|=40\sqrt{3}\mathrm{m}.$$

b) Tại thời điểm $$12$$ giờ sáng thì ta có: $$t=12-6=6.$$

Tại thời điểm $$12$$ giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:

$$S\left(6\right)=40\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}.6\right)\right|=0\mathrm{m}.$$

c) Tại thời điểm $$3$$ giờ $$45$$ chiều thì ta có: $$t=\left(15+\frac{3}{4}\right)-6=\frac{39}{4}.$$

Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $$3$$ giờ $$45$$ chiều là

$$S\left(\frac{39}{4}\right)=40\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}.\frac{39}{4}\right)\right|\approx 59,86\mathrm{m}.$$

Vậy tại thời điểm $$3$$ giờ $$45$$ chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là

$$59,86-40=19,86\mathrm{m}$$.

d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi

$$S\left(t\right)=40\iff 40\left|\cot \frac{\pi }{12}t\right|=40$$$$\iff \cot \frac{\pi }{12}t=\pm 1$$

$$\iff \frac{\pi }{12}t=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi$$ $$\iff t=\pm 3+12k\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vì $$0\le t\le 12$$ nên $$t=3$$ hoặc $$t=9$$, tức là tại thời điểm $$9$$ giờ sáng hoặc $$3$$ giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

Ta có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ S_{50}=5150\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ \frac{\left[2.5+49d\right].50}{2}=5150\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ d=4\end{array}$$.

Vậy cấp số cộng $$\left(u_n\right)$$ có số hạng $$u_1=5$$ và công sai $$d=4$$.

Ta có: $$u_{85}=u_1+84d=5+84.4=341.$$

           $$u_{10}=u_1+9d=5+9.4=41.$$

Tổng của 85 số hạng đầu $$S_{85}=\frac{\left(5+341\right).85}{2}=14705$$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

a) Theo đề, sau $$t$$ phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là $$600+15t$$ ($$l$$) và lượng muối có được là $$30.15t$$ ($$g$$).

Khi đó, nồng độ muối trong nước là: $$C\left(t\right)=\frac{30.15t}{600+15t}=\frac{30t}{40+t}\left(g/l\right)$$.

b) Khi $$t$$ tiến tới 15 phút, ta có: $$\underset{t\to 15}{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to 15}{\lim }\frac{30t}{40+t}=\frac{30.15}{40+15}=\frac{90}{11}>8.$$

Do đó, nồng độ muối trong hồ khi $$t$$ tiến tới 15 phút lớn hơn $$8\left(g/l\right)$$.

c) Khi $$t$$ tiến tới dương vô cùng, ta có:

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{40+t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{t\left(\frac{40}{t}+1\right)}=30\left(g/l\right).$$

d) Do đó, nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá $$30\left(g/l\right)$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: $$y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+3=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+3=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+3$$.

Do $$\forall x$$: $$-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1\iff -2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 2$$$$\iff 1\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+3\le 5$$

$$\iff 1\le y\le 5.$$

Vậy $$m=1$$ và $$M=5$$. Do đó, ta có: $$M+m=5+1=6.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 149

Vì $$-1\le \sin \left[\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right]\le 1$$

$$\iff -4\le 4\sin \left[\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right]\le 4$$

$$\iff 6\le 4\sin \left[\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right]+10\le 14$$

$$\iff 6\le y\le 14$$.

Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi $$y=14$$.

Suy ra $$\sin \left[\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right]=1$$$$\iff \frac{\pi }{178}\left(t-60\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

$$\iff t-60=89+356k$$$$\iff t=149+356k$$.

Mà $$t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ và $$t\le 365$$ nên $$0<149+356k\le 365$$$$\iff -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}$$.

Vì $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0$$. Do đó, $$k=149$$.

Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1647

Gọi $$u_n$$ là số ghế ở hàng thứ $$n.$$

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với $$u_1=35$$, công sai $$d=2$$.

Tổng số ghế của hội trường là $$S_{27}=\frac{27\left(2u_1+26d\right)}{2}=1647$$ ghế.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2227

Đặt $$P_0=2000000=2.10^6$$ và $$r=1,2\%=0,012$$.

Gọi $$P_n$$ là số dân của tỉnh M sau $$n$$ năm nữa.

Ta có: $$P_{n+1}=P_n+P_{n}r=P_n\left(1+r\right).$$

Suy ra $$\left(P_n\right)$$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $$P_0$$ và công bội $$q=1+r$$.

Do đó, số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là

$$P_9=M_0{\left(1+r\right)}^9=2\cdot 10^6\cdot {\left(1,012\right)}^9\approx 2227$$ (nghìn người).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 17

Ta có: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}.$$

Suy ra $$a=1,b=4$$.

Vậy $$S=a^2+b^2=1^2+4^2=17.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: −1,7

Do $$x\to 1^{-}$$ nên ta có $$\left|x-1\right|=1-x$$

Do đó, ta được: $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{3x-3+\left(1-x\right)\sqrt{5x^2+4}}{x^2-2x+1}$$

                       $$\underset{x\to 1^{-}}{=\lim }\frac{3\left(x-1\right)+\left(1-x\right)\sqrt{5x^2+4}}{{\left(x-1\right)}^2}$$

                       $$\underset{x\to 1^{-}}{=\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(3-\sqrt{5x^2+4}\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$$

                       $$\underset{x\to 1^{-}}{=\lim }\frac{9-5x^2-4}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{5x^2+4}\right)}$$

                      $$\underset{x\to 1^{-}}{=\lim }\frac{5\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{5x^2+4}\right)}$$

                     $$\underset{x\to 1^{-}}{=\lim }\frac{-5\left(x+1\right)}{3+\sqrt{5x^2+4}}=-\frac{5}{3}\approx -1,7.$$