Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

Ta có $h\left(t\right)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$$\iff [\begin{array}{l}t=1+6k\\ t=-1+6k\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì $0\le t\le 9\Rightarrow [\begin{array}{l}0\le 1+6k\le 9\\ 0\le -1+6k\le 9\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}-\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow [\begin{array}{r}k=0\Rightarrow t=1\mathrm{s}\\ k=1\Rightarrow t=7\mathrm{s}\end{array}\\ \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5\mathrm{s}\end{array}$ (do $k\in \mathbb{Z}$).

Vậy $$t=1\mathrm{s}$$, $$t=5\mathrm{s}$$, $$t=7\mathrm{s}$$ là các thời điểm cần tìm.

Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra $4\cdot 30\%=1,2$ triệu đồng để gửi tiết kiệm.

Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{24}=1,2{\left(1+0,004\right)}^{24}$.

Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{23}=1,2{\left(1+0,004\right)}^{23}$.

…

Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $$u_1=1,2\left(1+0,004\right)=1,2048$$.

Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=1,2\left(1+0,004\right)=1,2048$ và công bội $q=1,004$.

Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.

$S_{24}=\frac{u_1\left(1-q^{24}\right)}{1-q}=\frac{1,2048\left(1-1,{004}^{24}\right)}{1-1,004}\approx 30,285148$ (triệu đồng).

Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.

Gọi $$H$$ là giao của $$AF$$ và $$BC$$ trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Ta có $\{\begin{array}{l}GF\subset \left(SAH\right)\\ GF//\left(SBC\right)\\ \left(SAH\right)\cap \left(SBC\right)=SH\end{array}\Rightarrow GF//SH$.

Ta có $\widehat{EAF}=45^{\circ }\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{DAF}=45^{\circ }\Rightarrow \tan \left(\widehat{BAE}+\widehat{DAF}\right)=\frac{\tan \widehat{BAE}+\tan \widehat{DAF}}{1-\tan \widehat{BAE}\cdot \tan \widehat{DAF}}=1$.

Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh hình vuông $ABCD$ có độ dài là 1.

Đặt $BE=x\Rightarrow \tan \widehat{BAE}=x\Rightarrow \frac{x+\tan \widehat{DAF}}{1-x\cdot \tan \widehat{DAF}}=1\Rightarrow \tan \widehat{DAF}=\frac{1-x}{1+x}$.

Mà $\tan \widehat{DAF}=DF\Rightarrow DF=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow CF=1-DF=\frac{2x}{1+x}$.

Lại có $AD//CH$ nên theo định lí Thalès, ta suy ra $$\frac{AF}{HF}=\frac{DF}{CF}=\frac{1-x}{2x}$$.

Mà $\frac{AF}{HF}=\frac{AG}{SG}=\frac{1}{2}$ (do $GF//SH$) nên $\frac{1-x}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

Vậy E là trung điểm của BC.