Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: $$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$ $$\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$$ $$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

Xét trên khoảng $$\left(0;\pi \right)$$, ta có:

Với $$0<-\frac{\pi }{12}+k\pi <\pi$$$$\iff \frac{1}{12}<k<\frac{13}{12}$$ .

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=1$$ và $$x=\frac{11\pi }{12}$$.

Với $$0<\frac{7\pi }{12}+k\pi <\pi$$ $$\iff -\frac{7}{12}<k<\frac{5}{12}$$.

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0$$ và $$x=\frac{7\pi }{12}$$.

Vậy trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ phương trình có 2 nghiệm.

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ bằng $$\frac{11\pi }{12}+\frac{7\pi }{12}=\frac{3\pi }{2}$$.

Trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $$\frac{11\pi }{12}$$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: $$-1\le \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]\le 1$$

$$\iff -3\le 3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]\le 3$$

$$\iff 9\le 3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\le 15$$.

Do đó, tập giá trị của hàm số $$d\left(t\right)$$ là $$\left[9;15\right].$$

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$$3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12=12$$

$$\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=0$$ $$\iff \frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=k\pi$$

$$\iff t-80=182k,\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff t=80+182k\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Do $$t\in \mathbb{Z}$$ và $$0<t\le 365$$ nên ta có: $$\{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ 0<80+182k\le 365\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ -\frac{40}{91}<k\le \frac{285}{182}\end{array}$$ $$\iff k\in \left\{0;1\right\}$$

Với $$k=0$$ thì $$t=80+182.0=80;$$

Với $$k=1$$ thì $$t=80+182.1=262.$$

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

$$3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12=9$$

$$\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=-1$$

$$\iff \frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

$$\iff t-80=-91+364k,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

$$\iff t=-11+364k,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Do $$t\in \mathbb{Z}$$ và $$0<t\le 365$$ nên ta có:

$$\{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ 0<-11+364k\le 365\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ \frac{11}{364}<k\le \frac{94}{91}\end{array}$$ $$\iff k=1$$.

Với $$k=1$$ thì $$t=-11+364=353.$$

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay $$t=107$$ vào $$d\left(t\right)$$, ta được $$d\left(107\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(107-80\right)\right]+12\approx 13,3$$ giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) S

d) Đ

 

Ta có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=168\\ u_4+u_5+u_6=21\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+u_1.q+u_1.q^2=168\\ u_1.q^3+u_1.q^4+u_1.q^5=21\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q+q^2\right)=168\\ u_1.q^3\left(1+q+q^2\right)=21\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{168}{1+q+q^2}\\ q^3=\frac{1}{8}\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=96\\ q=\frac{1}{2}\end{array}$$.

Do đó, số hạng $$u_1=96$$ và công bội của cấp số nhân $$q=\frac{1}{2}$$.

Ta có: $$u_2=96.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-1}=48$$.

Do đó, 24 là không là số hạng thứ hai của cấp số nhân.

Ta có: $$S_{10}=\frac{96\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3069}{16}.$$

Vậy tổng của 10 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng $$\frac{3069}{16}.$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

 $S.ABCD$ với $$M$$ là một điểm n (ảnh 1)">

a) Trong mặt phẳng $$\left(ABCD\right)$$, gọi $$O=AC\cap BD$$.

Ta có: $$\{\begin{array}{l}O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\\ S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\end{array}$$ $$\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$.

Vậy $$SO$$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAC\right)$$ và $$\left(SBD\right)$$.

b) Trong mặt phẳng $$\left(SAC\right)$$, gọi $$P=AM\cap SO$$.

Ta có: $$\{\begin{array}{l}P\in AM\\ P\in SO,SO\subset \left(SBD\right)\end{array}$$$$\Rightarrow P=AM\cap \left(SBD\right).$$

c) Trong mặt phẳng $$\left(ABCD\right)$$, gọi $$K=AN\cap CD$$.

Khi đó: $$\{\begin{array}{l}K\in AN,AN\subset \left(AMN\right)\\ K\in CD,CD\subset \left(SCD\right)\end{array}$$ $$\Rightarrow K\in \left(AMN\right)\cap \left(SCD\right).$$

Mặt khác, $$\{\begin{array}{l}M\in SC,\mathrm{SC}\subset \left(SCD\right)\\ M\in \left(AMN\right)\end{array}$$$$\Rightarrow M\in \left(AMN\right)\cap \left(SCD\right).$$

Vậy $$KM=\left(AMN\right)\cap \left(SBD\right).$$

d) Trong mặt phẳng $$\left(SCD\right)$$, gọi $$H=KM\cap SD$$.

Ta có: $$\{\begin{array}{l}H\in KM,KM\subset \left(AMN\right)\\ H\in SD\end{array}$$$$\Rightarrow H\in SD\cap \left(ANM\right)$$.

Do đó, giao điểm của đường thẳng $$SD$$ và mặt phẳng $$\left(AMN\right)$$ là điểm nằm trên cạnh $$KM.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: $$-1,5$$

Ta có: $$\sin \alpha =\frac{2}{3}$$ và $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$$ do đó $$\alpha$$ thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra $$\cos \alpha <0$$ và $$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$$.

Ta có: $$P=\frac{1+\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{1+2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+\left(\cos \alpha -\sin \alpha \right)\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)}{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)\left(\cos \alpha +\sin \alpha +\cos \alpha -\sin \alpha \right)}{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=2\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{3}\approx -1,5.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao $$40m$$ thì $$h\left(t\right)=40$$

$$\iff 30+20\sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=40$$ $$\iff \sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$$$\iff \sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$$

$$\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}t=-\frac{25}{6}+50k\\ t=\frac{25}{2}+50k\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

Dễ thấy, giá trị $$t>0$$ nhỏ nhất thỏa mãn là $$t=12,5$$ giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi $$u_1;u_2;.....;u_{30}$$ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,…. Và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: $$u_n=u_{n-1}+4\left(n=2;3;...;30\right)$$.

Ký hiệu: $$S_{30}=u_1+u_2+.....+u_{30}$$, theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: $$S_{30}=\frac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right].n}{2}=\frac{\left[2.15+29.4\right].30}{2}=2190$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6552

Gọi $$\left(u_n\right)$$ là cấp số nhân cần tìm, $$q$$ là công bội của cấp số nhân đó.

Ta có: $$u_1=18,u_2=54$$ $$\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{54}{18}=3$$.

Xét số hạng cuối: $$u_n=4374$$$$\Rightarrow u_1.q^{n-1}=4374$$ $$\iff 18.3^{n-1}=4374$$ $$\iff 3^{n-1}=3^5$$ $$\iff n=6.$$

Vậy tổng sáu số hạng của cấp số nhân là $$S_6=\frac{u_1\left(1-q^6\right)}{1-q}=\frac{18.\left(1-3^6\right)}{1-3}=6552$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1

Ta có: $$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

        $$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

        $$=1-\frac{1}{n+1}$$$$=\frac{n}{n+1}$$.

Suy ra $$\lim \left[\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]=\lim \frac{n}{n+1}=1$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,8

$S.ABCD$, đáy $$ABCD$$ là hình th (ảnh 1)">

Trong mặt phẳng $$\left(SCD\right)$$, gọi $$F=KN\cap SD$$.

Trong mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$, gọi $$E=KM\cap SA$$.

Lúc này, mặt phẳng $$\left(KMN\right)$$ cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác $$MNFE$$.

Ta có: $$AD=2BC$$ thì $$BC$$ là đường trung bình của tam giác $$KAD.$$

Suy ra $$M$$ là trọng tâm của tam giác $$SAK$$ và $$E$$ là trung điểm của $$SA.$$

Tương tự $$EF$$ là đường trung bình của tam giác $$SAD$$ $$\Rightarrow EF=\frac{1}{2}AD.$$

Mặt khác theo giả thiết, ta có $$SM=2MB;SN=2NC$$ $$\Rightarrow MN=\frac{2}{3}BC=\frac{1}{3}AD.$$

Vì $$\frac{MN}{EF}=\frac{2}{3}$$ nên $$\frac{S_{KMN}}{S_{KFE}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$$$$\iff S_{KMN}=\frac{4}{9}{S}_{KEF};S_{MNFE}=\frac{5}{9}{S}_{KEF}$$.

Vậy $$\frac{S_{KMN}}{S_{MNFE}}=\frac{4}{5}=0,8.$$