Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

Ta có $h\left(t\right)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$$\iff [\begin{array}{l}t=1+6k\\ t=-1+6k\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì $0\le t\le 9\Rightarrow [\begin{array}{l}0\le 1+6k\le 9\\ 0\le -1+6k\le 9\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}-\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow [\begin{array}{r}k=0\Rightarrow t=1\mathrm{s}\\ k=1\Rightarrow t=7\mathrm{s}\end{array}\\ \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5\mathrm{s}\end{array}$ (do $k\in \mathbb{Z}$).

Vậy $$t=1\mathrm{s}$$, $$t=5\mathrm{s}$$, $$t=7\mathrm{s}$$ là các thời điểm cần tìm.

Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra $4\cdot 30\%=1,2$ triệu đồng để gửi tiết kiệm.

Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{24}=1,2{\left(1+0,004\right)}^{24}$.

Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{23}=1,2{\left(1+0,004\right)}^{23}$.

…

Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $$u_1=1,2\left(1+0,004\right)=1,2048$$.

Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=1,2\left(1+0,004\right)=1,2048$ và công bội $q=1,004$.

Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.

$S_{24}=\frac{u_1\left(1-q^{24}\right)}{1-q}=\frac{1,2048\left(1-1,{004}^{24}\right)}{1-1,004}\approx 30,285148$ (triệu đồng).

Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.

Với $0\le t<70$, ta có hàm số $T\left(t\right)=20+4t$ là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên $\left[0;70\right)$.

Với $70<t\le 120$, ta có hàm số $T\left(t\right)=a-2t$ ($a$ là hằng số) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên $\left[0;70\right)$.

Xét tính liên tục của hàm số tại $t_0=70$:

Tại $$t_0=70$$, ta có: $$T\left(70\right)=300$$.

$$\underset{x\to {70}^{-}}{\lim }T\left(x\right)=\underset{x\to {70}^{-}}{\lim }\left(20+4t\right)=300;$$

$$\underset{x\to {70}^{+}}{\lim }T\left(x\right)=\underset{x\to {70}^{+}}{\lim }\left(a-2t\right)=a-140$$.

Hàm số $T\left(t\right)$ liên tục trên tập xác định khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $t_0=70$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $$\underset{x\to {70}^{-}}{\lim }T\left(x\right)=\underset{x\to {70}^{+}}{\lim }T\left(x\right)=T\left(70\right)\iff a-140=300\iff a=440$$.

Vậy giá trị của $a=440$.