Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

a) Đúng. Ta có $v_1=u_1-3=8-3=5$.

b) Sai. Có $v_{n+1}=u_{n+1}-3=4u_n-9-3=4u_n-12=4\left(u_n-3\right)=4v_n\Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n}=4$ không đổi với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy dãy số $\left(v_n\right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $v_1=5$, công bội $q_1=4$.

c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left(v_n\right)$ là $v_n=v_1\cdot q_1^{n-1}=5\cdot 4^{n-1}$.

d) Sai. Ta có $v_n=u_n-3$, suy ra $u_n=3+v_n=3+5\cdot 4^{n-1}$.

a) Đúng. Vì $4\in \left[4;+\infty \right)$ nên $T\left(4\right)=35000\cdot 4=140000$.

b) Sai. Ta có $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }T\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\left(35000x\right)=35000\cdot 4=140000$.

c) Sai. Vì $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }T\left(x\right)=120000\ne \underset{x\to 4^{+}}{\lim }T\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 4}{\lim }T\left(x\right)$, suy ra hàm số $T\left(x\right)$ không liên tục tại $x=4$.

d) Đúng. Khi $x>4$, $T\left(x\right)=35000x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(4;+\infty \right)$.

Ta lại có $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }T\left(x\right)=T\left(4\right)$ nên hàm số $T\left(x\right)$ liên tục trên $\left[4;+\infty \right)$.

a) Nhiệt độ ngoài trời lúc 19 giờ là $h\left(19\right)=31+3\sin \frac{\pi }{12}\left(19-9\right)$$=31+3\sin \frac{5\pi }{6}=32,5$℃.

b) Ta có $-1\le \sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 1\Rightarrow -3\le 3\sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 3\Rightarrow 28\le 31+3\sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 34\forall t.$

Do đó $\max h\left(t\right)=34\iff \sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=1\iff \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=15+24k,k\in \mathbb{Z}.$

Vì $0<t\le 24\Rightarrow 0\le 15+24k\le 24\iff -\frac{15}{24}\le k\le \frac{3}{8}$.

Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$ nên $t=15.$

Vậy vào thời điểm 15 giờ thì nhiệt độ ở thành phố đó lớn nhất.

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày $$01$$ tháng $$01$$ năm $$2025$$ đến ngày $$30$$ tháng $$4$$ năm $$2025$$) là $$31+28+31+30=120$$ ngày.

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: $$u_1=100$$ đồng.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: $$u_2=100+100=100+1\cdot 100$$ đồng.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: $$u_3=100+100+100=100+2\cdot 100$$ đồng.

…

Như vậy, số tiền bỏ ống heo mỗi ngày của bạn An lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=100$, công sai $d=100$.

Sau $$120$$ ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của $$120$$ số hạng đầu của cấp số cộng trên.

Vậy số tiền An tích lũy được là $S_{120}=\frac{120}{2}\left[2u_1+\left(120-1\right)d\right]$$=\frac{120}{2}\left(2\cdot 100+119\cdot 100\right)$$=726000$ đồng.

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là $150\mathrm{mg}$.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

$150+150\cdot 5\%=150\left(1+0,05\right)$ (mg).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

$150+150\left(1+0,05\right)\cdot 5\%=150+150\left(0,05+0,{05}^2\right)=150\left(1+0,05+0,{05}^2\right)$ (mg).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

$150+150\left(1+0,05+0,{05}^2\right)\cdot 5\%=150\left(1+0,05+0,{05}^2+0,{05}^3\right)$ (mg).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

$150+150\left(1+0,05+0,{05}^2+0,{05}^3\right)\cdot 5\%=150\left(1+0,05+0,{05}^2+0,{05}^3+0,{05}^4\right)$$=157,8946875(\mathrm{mg}).$

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

$S=150\left(1+0,05+0,{05}^2+0,{05}^3+0,{05}^4+\dots \right)$ (mg).

Nhận thấy rằng $0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4+\dots$ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=0,05$ và công bội $q=0,05$.

Do đó, $1+0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4+\dots =1+\frac{u_1}{1-q}=1+\frac{0,05}{1-0,05}=\frac{20}{19}$.

Suy ra $S=150\cdot \frac{20}{19}=\frac{3000}{19}$.

Vậy lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài ước tính khoảng $\frac{3000}{19}$ mg.