Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

21 câu · Đề giữa kì 1

5/21 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 16 câu còn lại.

Câu 1

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 3

Cho các hàm số: $y = sin 2 x$ , $y = cos x$ , $y = tan x$ , $y = cot x$ . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T = π$ ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 4

Phương trình lượng giác

cos 3 x = cos \frac{π}{15}

có nghiệm là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n} = \frac{n}{3 ^{n} - 1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Cho một cấp số cộng có

u_{1} = - 3; d = 5

. Tính

u_{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 7

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có

u_{1} = 4; u_{2} = 8

. Tìm công bội

q

của cấp số nhân.

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 8

Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điểu tra được cho trong bảng sau.

Có bao nhiêu ô tô có độ tuổi dưới 12?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 9

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị củamẫu số liệutrênlà

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 10

Cho góc

α

thỏa mãn

π < α < \frac{3 π}{2}

và

sin α - 2 cos α = 1

. Tính

P = 2 tan α - cot α .

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 11

Tập xác định của hàm số

y = \frac{cos x}{sin x - 1}

là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 12

Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

Câu tự luận

Cho $sin a = \frac{1}{3}, 0 \leq a \leq \frac{π}{2}$ .

(a) Giá trị $tan a = \frac{2}{4}$ .

(b) Giá trị $sin 2 a = \frac{2 2}{9}$ .

(d) $tan (a + \frac{π}{4}) = \frac{9 + 4 2}{8}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đúng. Vì $0 \leq a \leq \frac{π}{2}$ nên $cos a \geq 0$ .

Ta có $cos^{2} a = 1 - sin^{2} a = \frac{8}{9} \Rightarrow cos a = \frac{2 2}{3}$ .

Suy ra $tan a = \frac{s i n a}{c o s a} = \frac{2}{4}$ .

b) Sai. Ta có $sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{4 2}{9}$ .

c) Đúng. Ta có $sin (\frac{π}{3} + a) = sin \frac{π}{3} cos a + cos \frac{π}{3} sin a = \frac{2 6 + 1}{6}$ .

d)Sai. Ta có $tan (a + \frac{π}{4}) = \frac{t a n a + t a n \frac{π}{4}}{1 - t a n a \cdot t a n \frac{π}{4}} = \frac{9 + 4 2}{7}$ .

Câu 14

Câu tự luận

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = \frac{3}{2}$ , công sai $d = \frac{1}{2}$ .

(a) Công thức cho số hạng tổng quát $u_{n} = 1 + \frac{n}{3}$ .

(b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

(d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng $(u_{n})$ bằng $2620$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Sai. Số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = \frac{3}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$ với mọi $n \geq 1$ .

b) Đúng. Xét $5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in N^{*}$ ; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) Sai. Xét $\frac{15}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{11}{2} \in / N^{*};$ suy ra $\frac{15}{4}$ không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Sai. Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: $S_{100} = \frac{100 [ 2 \cdot \frac{3}{2} + ( 100 - 1 ) \cdot \frac{1}{2} ]}{2} = 2625.$

Câu 15

Biết tập giá trị của hàm số $y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x$ là $T = [a; b]$ . Tính $a + b$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: 10

Câu 16

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} = - 12$ ; $u_{14} = 18$ . Tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Đáp án và lời giải

Đáp án: 24

Câu 17

Phương trình $cos 2 x - cos (π - x) = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(- π; π)$ ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: 2

Câu 18

Thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của 30 sinh viên được ghi lại ở bảng 1 sau (đơn vị: phút).

Khi ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là $[0; 60)$ ta được bảng 2. Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng 2.

Đáp án và lời giải

Đáp án: $219$

Câu 19

Câu tự luận

Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h (t) = 90 cos (\frac{π}{3} t)$ , trong đó $h (t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây $(t \geq 0)$ . Tìm tất cả các thời điểm trong khoảng 9 giây đầu tiên để chiều cao của sóng đạt 45 cm.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $h (t) = 45 \Rightarrow 90 cos (\frac{π}{3} t) = 45 \Leftrightarrow cos (\frac{π}{3} t) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\frac{π}{3} t = \frac{π}{3} + k 2 π \frac{π}{3} t = - \frac{π}{3} + k 2 π$ $\Leftrightarrow [t = 1 + 6 k t = - 1 + 6 k (k \in Z)$ .

Vì $0 \leq t \leq 9 \Rightarrow [0 \leq 1 + 6 k \leq 9 0 \leq - 1 + 6 k \leq 9 \Rightarrow - \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{4}{3} \Rightarrow [k = 0 \Rightarrow t = 1 s k = 1 \Rightarrow t = 7 s \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5 s$ (do $k \in Z$ ).

Vậy $t = 1 s$ , $t = 5 s$ , $t = 7 s$ là các thời điểm cần tìm.

Câu 20

Câu tự luận

Bạn Vân là học sinh giỏi của một trường THPT nên được hưởng học bổng hằng tháng là 4 triệu đồng. Học bổng được cấp vào đầu tháng. Vì muốn để dành tiền đóng học phí vào năm nhất đại học nên bắt đầu từ đầu tháng 9/2023 (đầu năm học lớp 11), cứ đầu tháng bạn Vân dành 30% số tiền học bổng nói trên để gửi tiết kiệm ở ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng và sẽ cố gắng giữ vững thành tích học tập để nhận học bổng đến hết tháng 8/2025. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu, học bổng được cấp đến hết tháng 8/2025. Hỏi đến hết tháng 8/2025 bạn Vân có bao nhiêu tiền để đóng học phí học đại học?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra $4 \cdot 30% = 1, 2$ triệu đồng để gửi tiết kiệm.

Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{24} = 1, 2 (1 + 0, 004)^{24}$ .

Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{23} = 1, 2 (1 + 0, 004)^{23}$ .

…

Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: $u_{1} = 1, 2 (1 + 0, 004) = 1, 2048$ .

Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 1, 2 (1 + 0, 004) = 1, 2048$ và công bội $q = 1, 004$ .

Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.

$S_{24} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{24} )}{1 - q} = \frac{1 , 2048 ( 1 - 1 , 004 ^{24} )}{1 - 1 , 004} \approx 30, 285148$ (triệu đồng).

Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.

Câu 21

Câu tự luận

Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc đèn tích điện mới, chị Nga thống kê thời gian sử dụng đèn của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:

(a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin.

(b) Chị Nga cho rằng có khoảng 25% số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không ?