Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-5\right),\overrightarrow{n_2}=\left(-5;-4\right)$.

b) Có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=4.\left(-5\right)+\left(-5\right).\left(-4\right)=0$. Do đó ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2$.

c) Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{|4.\left(-5\right)+\left(-5\right).\left(-4\right)|}{\sqrt{4^2+{\left(-5\right)}^2}.\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}}=0\Rightarrow \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=90^{\circ }$.

d) Ta có $M\left(-2;0\right)$.

Khi đó $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{|10.\left(-2\right)+8.0-4|}{\sqrt{{10}^2+8^2}}=\frac{24}{2\sqrt{41}}=\frac{12}{\sqrt{41}}$.

Suy ra $a=12;b=41$. Suy ra $\sqrt{12+41}=\sqrt{53}>7$.

Chọn bạn An: có 1 cách. Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại: có $C_{11}^3$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $1.C_{11}^3=165$.

Trả lời: −40

Do $M\in Ox$ nên giả sử $M(m;0)$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;-7),\overrightarrow{BM}=(m-2;6)$.

Vì $\widehat{ABM}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BM}=0\iff (-1)(m-2)+(-7)\cdot 6=0\iff m=-40$. Vậy $M(-40;0)$.

Hoành độ của điểm $M$ là −40.

Trả lời: 9

Gọi số cần tìm là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$.

Vì số cần tìm là số lẻ và không chia hết cho 5. Suy ra $a_8$ có 3 cách chọn.

Các số còn lại sẽ có $\mathrm{7.6.5.4.3.2.1}=5040$ cách.

Do đó số cách lập là: $5040.3=15120$.

Do đó tổng các chữ số của kết quả bằng $1+5+1+2+0=9$.

Trả lời: −108

Điều kiện :$n\ge 3;n\in N$

$A_n^3+2A_n^2=48\iff \frac{n!}{(n-3)!}+2\cdot \frac{n!}{(n-2)!}=48$$\iff n(n-1)(n-2)+2.n(n-1)=48\iff n^3-n^2-48=0\iff n=4$ (thỏa)

Ta có $(1-3x{)}^4=\sum _{k=0}^4{C}_4^k(-3x{)}^k=\sum _{k=0}^4{C}_4^k(-3{)}^k{x}^k$.

Hệ số của $x^3$ trong khai triển trên ứng với $k=3$.

Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển $(1-3x{)}^4$ là $C_4^3\cdot (-3{)}^3=-108$.

Có $10!$ cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ.

+ Ta có: $\Delta \cap d_1=A\Rightarrow A\in d_1\Rightarrow A\left(-1-2a;a\right)$.

$\Delta \cap d_2=B\Rightarrow B\in d_2\Rightarrow B\left(b;-2-2b\right)$.

+ Suy ra$\overrightarrow{MA}=(-2a;a-2);\overrightarrow{MB}=(b+1;-2b-4)$.

+ đường thẳng $\Delta$qua $M(-1;2)$và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$ nên$M,A,B$ thẳng hàng.

Lại có $MA=2MB$suy ra$$[\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\\ \overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}\end{array}$$.

+ $$\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\iff \{\begin{array}{l}-2a=2(b+1)\\ a-2=2(-2b-4)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=-\frac{5}{3}\end{array}$$ .

Suy ra $A\left(-\frac{7}{3};\frac{2}{3}\right);B\left(-\frac{5}{3};\frac{4}{3}\right)$. Suy ra phương trình đường thẳng $$\Delta :x-y+3=0$$ .

+ $$\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}\iff \{\begin{array}{l}-2a=-2(b+1)\\ a-2=-2(-2b-4)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-3\end{array}$$ .

Suy ra $A\left(3;-2\right);B\left(-3;4\right)$. Suy ra phương trình đường thẳng $$\Delta :x+y-1=0$$ .