Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có $\overrightarrow{n_d}=\left(4;-3\right)$.

b) $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$.

c) Ta có $d\left(A,d\right)=\frac{|4.3-3.\left(-3\right)-2|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{19}{5}$.

Ta có $d\left(B,d\right)=\frac{|3.\left(-1\right)+4.\left(-5\right)+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}$.

Vì $\frac{19}{5}<\frac{20}{5}$ nên $d\left(A,d\right)<d\left(B,d\right)$.

d) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)=-2\left(2;1\right)$.

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{n}=\left(-1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng.

Ta có $$\cos \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|4.\left(-1\right)+\left(-3\right).2\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{10}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Trả lời: 2,35

$2x^2+2y^2-8x+4y-1=0$$\iff x^2+y^2-4x+2y-\frac{1}{2}=0$$\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{11}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{\frac{11}{2}}\approx 2,35$.

Trả lời: 300

Giả sử sau 1 giờ, máy bay tại vị trí điểm $C\left(x;y\right)$.

Vì máy bay chuyển động thẳng đều nên A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Máy bay bay từ A đến B hết 3 giờ.

Máy bay bay từ A đến C hết 1 giờ.

Do vận tốc không đổi nên AB = 3AC $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-400;300\right),\overrightarrow{AC}=\left(x-600;y-200\right)$.

Vì $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$ nên $\{\begin{array}{l}-400=3\left(x-600\right)\\ 300=3\left(y-200\right)\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1400}{3}\\ y=300\end{array}$.

Vậy $C\left(\frac{1400}{3};300\right)$.

Trả lời: 5

Vì đường thẳng $\Delta //d$ nên $\Delta :2x-4y+c=0\left(c\ne 3\right)$.

Vì $\Delta$ đi qua $M\left(1;-2\right)$ nên ta có $2.1-4.\left(-2\right)+c=0\iff c=-10$.

Do đó $\Delta :2x-4y-10=0\iff x-2y-5=0$.

Suy ra $a=1;b=-2$. Do đó $a^2+b^2=5$.

Để biểu thức đã cho là tam thức bậc hai thì $m-2024\ne 0\iff m\ne 2024$.

Xét $\Delta AOC$ có $A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2-2.OA.OC.\cos 120^{\circ }=4+{\left(x+1\right)}^2+2.\left(x+1\right)=x^2+4x+7$.

Suy ra $AC=\sqrt{x^2+4x+7}$.

Xét $\Delta ABO$ có $AB=\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{4-x^2}$.

Vì $AC=2AB$ nên $\sqrt{x^2+4x+7}=2\sqrt{4-x^2}$

Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:

$x^2+4x+7=4\left(4-x^2\right)$$\iff 5x^2+4x-9=0$$\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{5}$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x=1$ và $x=-\frac{9}{5}$ đều là nghiệm của phương trình.

Vì $x>0$ nên $x=1$ thỏa mãn $OB<OA$.

Giả sử người đó đứng ở vị trí $B\left(-3;4\right)$.

Ta có $IB=\sqrt{{\left(-3+2\right)}^2+{\left(4-1\right)}^2}=\sqrt{10}>R$.

Suy ra khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ $B\left(-3;4\right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng là $IB-R=\sqrt{10}-3\approx 0,16$ (km).