Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $d\left(I,\Delta \right)=\frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

b) Đường kính của đường tròn bằng $2d\left(I,\Delta \right)=\frac{4}{\sqrt{5}}$.

c) Phương trình của đường tròn là ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{5}$.

d) Xét hệ $\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{5}\\ x-2y+7=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{5}\\ x=2y-7\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\left(2y-6\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{5}\\ x=2y-7\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}5y^2-28y+\frac{196}{5}=0\\ x=2y-7\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y=\frac{14}{5}\\ x=-\frac{7}{5}\end{array}$.

Vậy đường tròn $\left(C\right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.

Trả lời: 11

Điều kiện $x\ge 4$.

Ta có $\left(\sqrt{x-4}-1\right)\left(x^2-7x+6\right)=0$$\iff [\begin{array}{l}\sqrt{x-4}=1\left(1\right)\\ x^2-7x+6=0\left(2\right)\end{array}$.

+) Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được $x-4=1$$\iff x=5$.

Thay $x=5$ vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

+) Giải (2).

Ta có $x^2-7x+6=0$$\iff x=6$ hoặc $x=1$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{5;6\right\}$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 11.

Trả lời: 6

Phương trình đường chuẩn có dạng $x=-\frac{p}{2}\left(p\ne -4\right)$.

Vì khoảng cách giữa đường chuẩn $\Delta$ và đường thẳng $d:x=2$ bằng 5 nên $d\left(M,d\right)=5$ với $M\left(-\frac{p}{2};0\right)\in \Delta$.

Ta có $\frac{|-\frac{p}{2}-2|}{\sqrt{1^2}}=5$$\iff \left|-\frac{p}{2}-2\right|=5$$\iff [\begin{array}{l}-\frac{p}{2}-2=5\\ -\frac{p}{2}-2=-5\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}p=-14\\ p=6\end{array}$.

Vì $p>0$ nên $p=6$.

Trả lời: 11,2

Vật thể $M$ chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua $A\left(5;3\right)$ và nhận $\overrightarrow{v}\left(1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng $\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=3+2t\end{array}$.

Khi vật thể $M$ chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí $B$ có tọa độ là $\{\begin{array}{l}x=5+5=10\\ y=3+2.5=13\end{array}$.

Quãng đường vật thể $M$ đi được là $AB=\sqrt{{\left(10-5\right)}^2+{\left(13-3\right)}^2}=5\sqrt{5}\approx 11,2$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right)$.

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right)$ nên nhận $\overrightarrow{n}=\left(-1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của hình tròn.

Gọi chiều dài của vườn hoa là $x\left(x>0\right)$.

Suy chiều rộng của vườn hoa là: $\sqrt{{50}^2-x^2}$.

Theo đề ta có $2\left(x+\sqrt{{50}^2-x^2}\right)=140$$\iff x+\sqrt{2500-x^2}=70$$\iff \sqrt{2500-x^2}=70-x$ (1).

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:

$2500-x^2=4900-140x+x^2$$\iff 2400-140x+2x^2=0$$\iff [\begin{array}{l}x=40\\ x=30\end{array}$.

Thử lại ta thấy hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình.

Vì $x$ là chiều dài của vườn hoa nên $x=40$.

Vậy chiều dài của vườn hoa là 40 m.

Oxy có phương trình \(\left( C \right):{\left (ảnh 1)">

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm $I\left(-1;-2\right)$ và $R=4$.

Vì $M$ nằm trên đường tròn nên $IM=4$.

Gọi $H$ là trung điểm của $IM$ $\Rightarrow IH=\frac{1}{2}IM=2$.

Tam giác $AIM$ cân tại $A$ nên $AH\perp IM$. Suy ra $S_{IAM}=\frac{1}{2}AH.IM\Rightarrow IH=\frac{4.2}{4}=2$.

Do đó ta có $I{A}^2=I{H}^2+A{H}^2=2^2+2^2=8\Rightarrow IA=2\sqrt{2}$.

Ta thấy điểm $A$ cách điểm $I$ một khoảng không đổi nên quỹ tích điểm $A$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $2\sqrt{2}$.

Do đó điểm $A$ di chuyển trên đường tròn có phương trình là ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=8$.